$\mathbb{R}^n$中$-\Delta u(x)=|x|^2$的$C^2$解相关技术问题咨询

1. 证明$\Phi * |y|^2$无意义 #

首先，$\Phi(x)$是$\mathbb{R}^n$上拉普拉斯方程的基本解，其形式为：

• 当$n \neq 2$时，$\Phi(x) = \frac{1}{(n-2)\omega_n} |x|^{{2-n}$，其中$\omega_n$是$\mathbb{R}}n$单位球面的测度；
• 当$n = 2$时，$\Phi(x) = \frac{1}{2\pi} \log|x|$。

卷积$\Phi * |y|^2$定义为：
$$\Phi * |y|^2(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(x-y) |y|^2 dy$$

我们分情况讨论积分的收敛性：

• 当$n=1$时：基本解$\Phi(x)=\frac{1}{2}|x|$，卷积为$\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}} |x-y||y|^2 dy$。当$|y| \to \infty$时，$|x-y||y|^2 \approx |y|^3$，积分$\int_{\mathbb{R}} |y|^3 dy$显然发散。
• 当$n=2$时：卷积为$\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2} \log|x-y||y|^2 dy$。在$|y|>1$区域，$\log|x-y| \approx \log|y|$，被积函数近似为$\log|y| \cdot |y|^2$，积分$\int_{|y|>1} \log|y| \cdot |y|^2 dy$发散（因为$\log|y|$增长慢但与$|y|^2$相乘后，积分到无穷大时无界）。
• 当$n \geq 3$时：卷积为$\frac{1}{(n-2)\omega_n}\int_{\mathbb{R}^n} |x-y|^{2-n}|y|2 dy$。采用球坐标变换，当$|y| \to \infty$时，$|x-y| \approx |y|$，被积函数近似为$|y|^{2-n} \cdot |y|^2 = |y|^{{4-n}$，结合球坐标体积元$r}{n-1}dr dS$，积分变为$\int_{R}^{\infty} r^{4-n} \cdot r^{n-1} dr = \int_{R}^{\infty} r^3 dr$，这部分积分显然发散。

综上，无论$n$取何值，卷积$\Phi * |y|^2$的积分都不收敛，因此作为经典函数无意义。

2. 寻找方程$-\Delta u(x)=|x|^2$的一个多项式解 #

我们假设$u(x)$是四次齐次多项式（因为方程右边是二次项，拉普拉斯算子是二阶，解的次数应为$2+2=4$）。设$u(x)=a|x|^4$，计算其拉普拉斯：

首先，$|x|^4=(x_12+x_2^2+\dots+x_n2)^2$，对$x_i$求二阶偏导：
$$\frac{\partial^2}{\partial x_i^2} |x|^4 = 4|x|^2 + 8x_i^2$$

求和得到拉普拉斯：
$$\Delta |x|^4 = \sum_{i=1}^n (4|x|^2+8x_i2) = 4n|x|^2 + 8|x|^2 = 4(n+2)|x|^2$$

原方程要求$-\Delta u = |x|^2$，即$\Delta u = -|x|^2$，代入得：
$$4(n+2)a|x|^2 = -|x|^2$$

解得$a=-\frac{1}{4(n+2)}$，因此一个多项式解为：
$$u(x) = -\frac{|x|^4}{4(n+2)}$$

当然，我们还可以加上任意调和多项式（比如常数、线性函数，它们的拉普拉斯为0），但上述是最简单的多项式解。

3. 证明球面平均$m(r)=u(0)+\frac{r^4}{4(n+2)}$（注：实际推导结果符号存在差异） #

首先，球面平均定义为：
$$m(r) = \frac{1}{|\partial B(0,r)|} \int_{\partial B(0,r)} u(y) dS(y)$$
其中$|\partial B(0,r)|=\omega_n r^{n-1}$是半径为$r$的球面测度。

我们利用球面平均的导数性质：
$$\frac{d}{dr}m(r) = \frac{1}{|\partial B(0,r)|} \int_{\partial B(0,r)} \frac{\partial u}{\partial \nu}(y) dS(y)$$
这里$\nu$是球面的外法向量，$\frac{\partial u}{\partial \nu}=\nabla u \cdot \frac{y}{r}$。

结合格林公式，$\int_{B(0,r)} \Delta u(y) dy = \int_{\partial B(0,r)} \frac{\partial u}{\partial \nu}(y) dS(y)$，而原方程$\Delta u=-|y|^2$，因此左边积分：
$$\int_{B(0,r)} \Delta u(y) dy = -\int_{B(0,r)} |y|^2 dy = -\omega_n \int_0^r s^2 \cdot s^{n-1} ds = -\frac{\omega_n r^{n+2}}{n+2}$$

将其代入导数公式：
$$\omega_n r^{n-1} m'(r) = -\frac{\omega_n r^{n+2}}{n+2}$$

两边约去$\omega_n r^{n-1}$得：
$$m'(r) = -\frac{r^3}{n+2}$$

对$r$积分：
$$m(r) = -\int \frac{r^3}{n+2} dr + C = -\frac{r^4}{4(n+2)} + C$$

当$r \to 0^+$时，$m(r) \to u(0)$，因此$C=u(0)$，最终得到：
$$m(r) = u(0) - \frac{r^4}{4(n+2)}$$

这里与题目给出的结论符号相反，推测可能是题目中方程的符号（如$-\Delta u=-|x|^2$）或球面平均的法向量方向定义不同导致的差异。

4. 关联积分条件的结论 #

题目提到：当$n>3$时，若$f \in C^2(\mathbb{R}n)$满足$\int_{\mathbb{R}^n} |f(y)|(1+|y|)^{2-n} dy < \infty$，则拉普拉斯方程$-\Delta u=f$的解可表示为基本解卷积$u=\Phi*f + h$（$h$为调和函数）。

但对于$f(y)=|y|^2$，当$n>3$时：
$$\int_{\mathbb{R}^n} |y|^2(1+|y|){2-n} dy \approx \int_{|y|>1} |y|^2 \cdot |y|^{2-n} dy = \int_{|y|>1} |y|^{4-n} dy$$
结合球坐标体积元，积分变为$\int_{1}^{\infty} r^{4-n} \cdot r^{n-1} dr = \int_{1}^{\infty} r^3 dr$，显然发散。这说明$f(y)=|y|^{2$不满足该积分条件，因此卷积$\Phi*|y|}2$无意义，这正好印证了问题1的结论。

而方程$-\Delta u=|x|^{2$的解可以表示为我们找到的多项式解加上任意调和函数，即$u(x)=-\frac{|x|}4}{4(n+2)} + h(x)$，其中$h(x)$是$\mathbb{R}^n$上的调和函数（满足$\Delta h=0$）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Username Unknown