离散赋值环Dummit and Foote问题求证及v(x)=0时的困惑

首先得给你吃个定心丸：你的推导过程完全正确，而且当$v(x)=0$时$x$和$x^{{-1}$都属于$R$的情况，**完全不违反题目要求的“$x$或$x}{-1}$必属于$R$”——这里的关键是要明确：数学里的“或”是相容或**（也就是逻辑里的$\lor$），它允许两个命题同时成立，不是非此即彼的排他或。

咱们再结合离散赋值环的定义把逻辑理得更清楚：
离散赋值环$R$是其分式域$K$的子环，对应一个离散赋值$v:K^\times \to \mathbb{Z}$，并且$R$的定义就是：
$$R = {x \in K^\times \mid v(x) \geq 0} \cup {0}$$

结合你推导的结论$v(x) = -v(x^{-1})$，我们可以分三种情况讨论任意非零$x \in K$：

• 若$v(x) > 0$：根据定义，$x \in R$，而$v(x^{-1}) = -v(x) < 0$，所以$x^{-1} \notin R$；
• 若$v(x) < 0$：$v(x^{-1}) = -v(x) > 0$，所以$x^{-1} \in R$，而$x \notin R$；
• 若$v(x) = 0$：此时$v(x^{-1}) = 0$，所以$x$和$x^{-1}$都满足$v(\cdot) \geq 0$，因此两者都属于$R$。

题目要求的“$x$或$x^{-1}$必属于$R$”，在第三种情况里显然成立——毕竟两个都属于，自然满足“至少一个属于”的要求。

其实离散赋值环是一类特殊的赋值环（valuation ring），而赋值环的核心定义就是：对分式域中任意非零元，该元素或其逆元属于环。所以你的观察正好对应了赋值环定义里允许“两者都在环中”的情况，完全没问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Good Morning Captain