坐标变换中a(x,y)与b(x,y)线性独立的雅可比行列式条件合理性问询

嗨，我来帮你理清这里的逻辑～

首先得明确：这里说的$a(x,y)$和$b(x,y)$的线性独立，其实是指它们作为函数空间中的向量的线性独立，和你熟悉的有限维向量组的线性独立本质是相通的，但需要结合偏导数的意义来理解。

先回忆普通有限维向量组${v_1, v_2}$线性独立的条件：不存在不全为零的常数$c_1, c_2$，使得$c_1v_1 + c_2v_2 = 0$（零向量）。

对于二元函数$a(x,y)$和$b(x,y)$，它们的线性独立定义是：不存在不全为零的常数$c_1, c_2$，使得对定义域内所有的$(x,y)$，都有$c_1a(x,y) + c_2b(x,y) = 0$。

那雅可比行列式非零怎么和这个定义挂钩呢？我们可以用反证法来推导：

假设$a(x,y)$和$b(x,y)$线性相关，也就是存在不全为零的$c_1, c_2$，使得$c_1a(x,y) + c_2b(x,y) = 0$对所有$(x,y)$成立。

现在对这个等式分别关于$x$和$y$求偏导，会得到：

• $c_1\frac{\partial a}{\partial x} + c_2\frac{\partial b}{\partial x} = 0$
• $c_1\frac{\partial a}{\partial y} + c_2\frac{\partial b}{\partial y} = 0$

这相当于一个关于$c_1, c_2$的齐次线性方程组：
$$
\begin{cases}
\frac{\partial a}{\partial x} \cdot c_1 + \frac{\partial b}{\partial x} \cdot c_2 = 0 \
\frac{\partial a}{\partial y} \cdot c_1 + \frac{\partial b}{\partial y} \cdot c_2 = 0
\end{cases}
$$

如果这个方程组有非零解（因为$c_1,c_2$不全为零），根据线性代数的知识，它的系数矩阵的行列式必须为零。而这个系数矩阵的行列式，正好就是雅可比行列式的转置行列式，转置行列式的值和原行列式相等，所以此时雅可比行列式$\begin{vmatrix} \frac{\partial a}{\partial x} & \frac{\partial a}{\partial y} \ \frac{\partial b}{\partial x} & \frac{\partial b}{\partial y}\end{vmatrix} = 0$。

反过来，如果雅可比行列式不为零，说明上面的齐次线性方程组只有零解，也就是不存在不全为零的$c_1,c_2$满足偏导后的等式，进一步也就不存在这样的$c_1,c_2$满足原函数等式（如果原函数等式成立，偏导后的等式必然成立），所以$a(x,y)$和$b(x,y)$线性独立。

简单来说，雅可比行列式非零，本质上是保证了$a,b$的偏导数构成的向量组在每一点都是线性独立的，从而反推函数本身的线性独立性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MHW