离散型随机变量期望赔付计算疑问：结果与标准答案不符求解

先理清楚已知条件 #

• 随机变量 ( X ) 代表患者的住院天数，它的概率质量函数是：
  $$\displaystyle f(x) = \frac{5 - x}{10}, \quad x = 1, 2, 3, 4$$
• 保险赔付规则很明确：
  • 住院的前2天，每天赔166美元
  • 要是住院超过2天，超出的那些天（也就是第3、4天），每天赔118美元
• 现在给定的正确期望赔付是312.8美元，但你算出来是284美元，计算开头写的是 ( E(X) = 166(1(\frac... )

为啥会有计算差异？ #

你出错的核心问题，是没正确定义赔付金额和住院天数的对应关系，反而错误地把赔付额直接和住院天数 ( X ) 的期望做了不当绑定。

先给你看正确的计算步骤：
我们得先把赔付金额 ( Y ) 当成 ( X ) 的函数，分情况算每个住院天数对应的总赔付，再乘以各自的概率求和：

1. 先算出每个住院天数的概率：
   • 住1天的概率：( f(1) = \frac{5-1}{10} = 0.4 )
   • 住2天的概率：( f(2) = \frac{5-2}{10} = 0.3 )
   • 住3天的概率：( f(3) = \frac{5-3}{10} = 0.2 )
   • 住4天的概率：( f(4) = \frac{5-4}{10} = 0.1 )
2. 再算每个住院天数对应的总赔付：
   • 住1天：只拿1天的赔付，( 166 \times 1 = 166 ) 美元
   • 住2天：拿2天的166美元，( 166 \times 2 = 332 ) 美元
   • 住3天：前2天拿166，第3天拿118，总赔付 ( 166 \times 2 + 118 \times 1 = 450 ) 美元
   • 住4天：前2天166，后2天118，总赔付 ( 166 \times 2 + 118 \times 2 = 568 ) 美元
3. 最后算期望赔付 ( E(Y) )：
   $$
   \begin{align*}
   E(Y) &= 166 \times 0.4 + 332 \times 0.3 + 450 \times 0.2 + 568 \times 0.1 \
   &= 66.4 + 99.6 + 90 + 56.8 \
   &= 312.8
   \end{align*}
   $$

再看你可能的错误逻辑：
从你写的计算开头推测，你大概率是这么算的：
$$
166 \times (1 \times 0.4 + 2 \times 0.3) + 118 \times (3 \times 0.2 + 4 \times 0.1)
$$
代入数值一算就是：
$$
166 \times (0.4 + 0.6) + 118 \times (0.6 + 0.4) = 166 + 118 = 284
$$
这个错在哪呢？你把住院第3、4天的赔付当成了“全天按118美元算”，但实际上第3、4天是在已经拿到前2天166美元赔付的基础上，额外拿118美元/天，而不是用118美元替换前2天的赔付。说白了，你没把前2天的赔付覆盖到所有住院天数≥2的情况，反而错误拆分了赔付天数的权重，才导致结果偏小。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SloanTheSloth