n维相同凸体最优填充时，间隙占ℝⁿ比例最大的物体是什么？

嘿，这两个问题都是凸体填充领域里挺经典的问题，我来结合目前的研究结论给你梳理清楚：

问题1：填充凸体时效率最低的物体是什么？ #

这个得分情况讨论，咱们先聚焦最常用的三维空间：

• 如果把范围限定在凸多面体里，目前已知填充效率（密堆积时物体体积占空间的比例）最低的是正十二面体，它的最优填充密度大概是75.46%——对比一下，正四面体是77.6%，立方体、正八面体这类能直接密铺空间的，效率更是100%。
• 如果扩展到所有凸体（包括曲面凸体比如球），球体的填充密度是74.05%，比正十二面体还低。而且学界已经证明，存在一些非对称的凸体，它们的填充密度更接近三维凸体填充密度的理论下界（约72%），这些就是目前已知效率最低的凸体，不过它们的形状比较“怪异”，不像正十二面体或球这么规整。

问题2：n维空间中最优填充下，哪种凸体的间隙空间占比最大？ #

这个问题本质上是找n维空间里填充密度最低的凸体，不同维度的结论差异很大：

• 二维平面（n=2）：所有凸体的最优填充密度都不会低于π/(2√3)≈90.69%（也就是圆的正六边形密铺密度）。像正方形、正六边形这类能密铺平面的凸多边形，效率是100%，所以间隙占比最大的凸体就是圆，以及其他无法密铺且填充密度接近这个下界的凸形。
• 三维及以上空间（n≥3）：随着维度升高，情况会越来越复杂。比如在三维，我们刚才说过球和某些非对称凸体的填充密度更低；到了高维（比如8维、24维），球体的填充密度在特定晶格下能达到局部最优，但依然远低于很多凸多面体的填充效率。目前学界还没有找到高维空间中明确的“效率最低”凸体，更多是在探索填充密度的理论下界——不过可以确定的是，球体在很多高维空间里的填充密度都远低于不少凸体，间隙占比自然更大。

另外要明确：这里的“最优填充”指的是能最大化物体体积占比的堆积方式，间隙占比=1-填充密度，所以间隙占比最大就等价于填充密度最低。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jonathan