黎曼曲面上全纯函数相关次调和性的证明问询

咱们接着你已经推到一半的思路，把这个问题完整解决掉～

一、先证|f|^α的次调和性（α>0） #

次调和函数的核心定义是：对任意点$z_0∈X$，存在邻域，使得对邻域内的小圆盘，函数在圆心的值不超过圆周上的积分平均，同时函数本身连续。

情况1：α>1时 #

你已经用到了柯西积分公式和三角不等式的第一步，咱们把它补全：
因为$f$是全纯函数，由柯西积分公式可得：
$$|f(z_0)|^{{\alpha}=\left|\frac{1}{2\pi}\int_{0}}{2\pi}f(z_0+re^{it}), dt\right|^{\alpha}$$
利用三角不等式把绝对值放进积分，得到：
$$\leq\left(\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{{2\pi}\left|f(z_0+re}{it})\right|, dt\right)^{\alpha}$$

这时候注意到，当$\alpha>1$时，函数$\varphi(t)=t^{\alpha$是**凸函数**（二阶导数$\alpha(\alpha-1)t}{\alpha-2}>0$）。根据Jensen不等式：对于凸函数$\varphi$和概率测度$\frac{1}{2\pi}dt$，有$\varphi\left(\int_{0}^{{2\pi}g(t)\cdot\frac{1}{2\pi}dt\right)\leq\int_{0}}{2\pi}\varphi(g(t))\cdot\frac{1}{2\pi}dt$。取$g(t)=|f(z_0+re^{it})|$代入，就有：
$$\left(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{{2\pi}|f(z_0+re}{it})|dt\right)^\alpha \leq \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{{2\pi}|f(z_0+re}{it})|^\alpha dt$$

把几步连起来，最终得到：
$$|f(z_0)|^\alpha \leq \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{{2\pi}|f(z_0+re}{it})|^\alpha dt$$

再加上$|f|^{\alpha$是连续函数（$f$全纯连续，绝对值和正幂次都保持连续性），完全满足次调和函数的定义，所以$\alpha>1$时$|f|}\alpha$次调和。

情况2：0<α≤1时 #

这时候$\varphi(t)=t^\alpha$是凹函数，直接用Jensen不等式就行不通了，咱们换个思路：

全纯函数$f$的模的对数$\log|f|$是次调和函数（这是全纯函数的基本性质，除了$f$的零点，但零点是孤立的，不影响次调和性的验证）。而$\alpha>0$，所以$\alpha\log|f|$也是次调和函数（次调和函数乘以正实数仍然是次调和）。

接下来看函数$\psi(t)=e^{t$，它是**凸递增函数**（二阶导数$e}t>0$，导数$e^t>0$）。根据次调和函数的复合性质：如果$u$是次调和函数，$\varphi$是$\mathbb{R}$上的凸递增函数，那么$\varphi\circ u$也是次调和函数。

这里取$u=\alpha\log|f|$，$\varphi(t)=e^t$，那么$\varphi\circ u=e^{{\alpha\log|f|}=|f|}\alpha$，自然就是次调和函数了。

二、再证log(1+|f|^α)的次调和性（α>0） #

咱们还是用次调和函数的复合性质来处理，先把目标函数改写一下：
$$\log(1+|f|^{\alpha)=\log\left(1+e}{\alpha\log|f|}\right)$$

令$v=\alpha\log|f|$，咱们已经知道$v$是次调和函数。现在看函数$\varphi(t)=\log(1+e^t)$，计算它的二阶导数：
$$\varphi'(t)=\frac{e^t}{1+et},\quad \varphi''(t)=\frac{e^t(1+et)-e^t\cdot e^t}{(1+et)^2}=\frac{et}{(1+e^t)2}>0$$

显然$\varphi(t)$是凸函数，而且它的导数$\varphi'(t)=\frac{e^t}{1+et}\in(0,1)$，是单调递增的，所以$\varphi(t)$是凸递增函数。

再用次调和函数的复合性质：凸递增函数作用在次调和函数上，结果还是次调和函数。所以$\varphi\circ v=\log(1+e^{{\alpha\log|f|})=\log(1+|f|}\alpha)$就是次调和函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sysMirror