如何证明∫_{-π}^{π} cos²(x)/(1+aˣ) dx = π/2？

嘿，这个积分其实不用Feynman技巧也能轻松搞定，用积分区间的对称性替换反而更直接！咱们一步步拆解证明过程：

1. 先定义目标积分：
   $$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(x)}{1+ax} dx$$
   其中已知 $a≠0$。

2. 做变量替换 $x = -t$，此时 $dx = -dt$，积分上下限会从 $x=-\pi \to \pi$ 变为 $t=\pi \to -\pi$，负号抵消后得到：
   $$I = \int_{\pi}^{-\pi} \frac{\cos^2(-t)}{1+a{-t}} (-dt) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(t)}{1+a{-t}} dt$$
   因为 $\cos$ 是偶函数，$\cos^2(-t)=\cos2(t)$，而且积分变量可以随意替换，所以上式也可以写成：
   $$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(x)}{1+a{-x}} dx$$

3. 现在把原始的 $I$ 和这个替换后的 $I$ 相加：
   $$2I = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(x) \left( \frac{1}{1+a^x} + \frac{1}{1+a^{-x}} \right) dx$$

4. 化简括号里的分式组合，这是关键一步：
   $$\frac{1}{1+a^x} + \frac{1}{1+a^{-x}} = \frac{1}{1+a^x} + \frac{a^x}{ax + 1} = \frac{1+a^x}{1+ax} = 1$$
   这下含 $a$ 的项直接消掉了！

5. 代入后得到：
   $$2I = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(x) dx$$
   又因为 $\cos^2(x)$ 是偶函数，积分区间关于原点对称，所以可以简化为：
   $$2I = 2\int_{0}^{\pi} \cos^2(x) dx$$
   两边同时除以2，得到：
   $$I = \int_{0}^{\pi} \cos^2(x) dx$$

6. 最后计算这个基础积分，利用三角恒等式 $\cos^2(x) = \frac{1+\cos2x}{2}$：
   $$\int_{0}^{\pi} \frac{1+\cos2x}{2} dx = \frac{1}{2}\left[ x + \frac{\sin2x}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{1}{2}(\pi + 0 - 0 - 0) = \frac{\pi}{2}$$

这样就完成了证明，而且和你验证的 $a=1$ 的情况完全吻合——当 $a=1$ 时，原积分就是 $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(x)}{2} dx$，结果同样是 $\frac{\pi}{2}$，完美自洽！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者theweeknd