正态样本下Zₙ对应的√n(Zₙ−μ)方差极限求解

已知$X_1,\ldots,X_n$是$\mathcal{N}1(\mu,1)$的样本，$Y_n$与$X_1,\ldots,X_n$相互独立，满足：
$$\Pr(Y_n=1)=n^{-2}=1−\Pr(Y_n=0)$$
令$L$为$X_1,\ldots,X_n$对$\mu$的极大似然估计量（MLE），定义$Z_n=(1−Y_n)L+\sqrt{n} Y_n$，求：
$$\lim{n \to \infty}\operatorname{Var}(\sqrt{n}(Z_n−\mu))?$$

你已经完成了部分推导，我来把推导补全并得到最终结果：

首先，正态分布均值$\mu$的MLE是样本均值$\bar{X}_n$，即$L=\bar{X}_n$，且$\text{Var}(L)=\frac{1}{n}$，$E[L]=\mu$（无偏估计）。

我们先把$\sqrt{n}(Z_n - \mu)$按$Y_n$的取值拆分：

• 当$Y_n=0$时，$\sqrt{n}(Z_n - \mu) = \sqrt{n}(L - \mu)$
• 当$Y_n=1$时，$\sqrt{n}(Z_n - \mu) = \sqrt{n}(\sqrt{n} - \mu) = n - \sqrt{n}\mu$

接下来用方差的定义$\text{Var}(W) = E[W^2] - (E[W])^2$来计算，其中$W=\sqrt{n}(Z_n - \mu)$：

步骤1：计算$E[W]$ #

利用全期望公式：
$$
\begin{align*}
E[W] &= P(Y_n=0)E[W|Y_n=0] + P(Y_n=1)E[W|Y_n=1] \
&= (1 - n^{-2}) \cdot E[\sqrt{n}(L-\mu)] + n^{-2} \cdot (n - \sqrt{n}\mu)
\end{align*}
$$
因为$E[L]=\mu$，所以$E[\sqrt{n}(L-\mu)]=0$，代入得：
$$
E[W] = 0 + n^{-2}(n - \sqrt{n}\mu) = \frac{1}{n} - \frac{\mu}{n^{3/2}}
$$
当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n}$和$\frac{\mu}{n^{3/2}}$都趋近于0，因此$\lim_{n\to\infty}E[W]=0$。

步骤2：计算$E[W^2]$ #

同样用全期望公式：
$$
\begin{align*}
E[W^2] &= P(Y_n=0)E[W^2|Y_n=0] + P(Y_n=1)E[W^2|Y_n=1] \
&= (1 - n^{-2}) \cdot E\left[\left(\sqrt{n}(L-\mu)\right)^2\right] + n^{-2} \cdot (n - \sqrt{n}\mu)^2
\end{align*}
$$
分别计算两项：

• 第一项：$E\left[\left(\sqrt{n}(L-\mu)\right)^2\right] = n \cdot \text{Var}(L) = n \cdot \frac{1}{n} = 1$
• 第二项：$(n - \sqrt{n}\mu)^2 = n^2 - 2n^{3/2}\mu + n\mu^2$

代入后展开：
$$
\begin{align*}
E[W^2] &= (1 - n^{-2}) \cdot 1 + n^{-2}(n2 - 2n^{3/2}\mu + n\mu^2) \
&= 1 - \frac{1}{n^2} + 1 - \frac{2\mu}{\sqrt{n}} + \frac{\mu^2}{n}
\end{align*}
$$
当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n^{2}$、$\frac{2\mu}{\sqrt{n}}$、$\frac{\mu}2}{n}$都趋近于0，因此$\lim_{n\to\infty}E[W^2] = 1 + 1 = 2$。

步骤3：计算极限方差 #

因为$\lim_{n\to\infty}E[W]=0$，所以：
$$
\lim_{n \to \infty}\operatorname{Var}(W) = \lim_{n\to\infty}\left(E[W^2] - (E[W])^2\right) = 2 - 0^2 = 2
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rek