半单模与零化子的等价性刻画证明问询

首先我们按照提示，先从循环模的情况入手，再推广到一般模的情形。

必要性（⇒）：若$M$是半单模，则对所有$m\in M\backslash{0}$，$ann(m)$是有限个极大左理想的交集 #

已知半单模可以分解为单模的直和，即$M=\bigoplus_{i\in I}M_i$，其中每个$M_i$都是单$R$-模。

任取非零元素$m\in M$，由于直和的性质，$m$只能是有限个$M_i$中元素的和：设$m=m_{i_1}+m_{i_2}+\dots+m_{i_n}$，其中$m_{i_k}\in M_{i_k}$且$m_{i_k}\neq0$（$k=1,2,\dots,n$）。

接下来分析每个$m_{i_k}$的零化子：

• 考虑循环模$Rm_{i_k}$，它是$M_{i_k}$的非零子模，而$M_{i_k}$是单模，因此$Rm_{i_k}=M_{i_k}$，即$Rm_{i_k}$是单模。
• 根据模同构定理，$Rm_{i_k}\cong R/ann(m_{i_k})$，而单模的商环对应的零化子必然是极大左理想（因为若$ann(m_{i_k})\subsetneq J\subseteq R$是左理想，则$R/J$是$R/ann(m_{i_k})$的非零商模，但单模没有非零真商模，矛盾），因此$ann(m_{i_k})$是$R$的极大左理想。

现在看$ann(m)$：
对于任意$r\in R$，$rm=0$当且仅当$rm_{i_1}=rm_{i_2}=\dots=rm_{i_n}=0$（因为直和中元素的零分量唯一），即$r\in\bigcap_{k=1}^n ann(m_{i_k})$。因此$ann(m)=\bigcap_{k=1}^n ann(m_{i_k})$，这正是有限个极大左理想的交集。

充分性（⇐）：若对所有$m\in M\backslash{0}$，$ann(m)$是有限个极大左理想的交集，则$M$是半单模 #

我们先证明循环模的情况：任取非零循环模$Rm\subseteq M$，已知$ann(m)=\bigcap_{k=1}^n J_k$，其中每个$J_k$是$R$的极大左理想。

考虑自然同态$\varphi:R\to\bigoplus_{k=1}^n R/J_k$，其中$\varphi(r)=(r+J_1,r+J_2,\dots,r+J_n)$。这个同态的核是$\bigcap_{k=1}^n J_k=ann(m)$，因此根据同构定理，$Rm\cong R/ann(m)\cong\varphi(R)\subseteq\bigoplus_{k=1}^n R/J_k$。

注意到每个$R/J_k$都是单$R$-模（因为$J_k$是极大左理想），而半单模的直和仍然是半单模，半单模的子模也必然是半单模，因此$Rm$是半单模。

接下来推广到整个模$M$：
$M$是所有循环模的和（因为每个元素都生成一个循环模），而半单模的和仍然是半单模（半单模的定义之一就是模可以表示为单模的和，或者等价地，所有子模都是直和项）。因此$M$作为半单模的和，本身也是半单模。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rgm