平凡quandle对纽结图的着色：是否存在非平凡着色？

先明确几个核心概念和规则：

• 你提到的n阶平凡quandle Tₙ，定义是对任意 x,y ∈ Tₙ，二元运算满足 x*y = x——简单说就是运算结果永远等于第一个元素，和第二个元素无关。
• 纽结图的quandle着色有严格的交叉点规则：
  • 对于右手交叉：假设下弧左侧的颜色为y，上弧的颜色为x，那么下弧右侧的颜色z必须满足 z = y * x
  • 对于左手交叉：假设下弧右侧的颜色为z，上弧的颜色为x，那么下弧左侧的颜色y必须满足 y = z * x

代入Tₙ的运算规则分析交叉点要求：

• 右手交叉中，z = y * x = y，也就是说下弧的左右两段颜色必须完全相同
• 左手交叉中，y = z * x = z，同样强制下弧的左右两段颜色一致

而纽结是连通的图形，所有弧都是相互连通的。沿着纽结的路径遍历，每经过一个交叉点，颜色都不会发生变化（因为下弧的左右段颜色必须相等），最终所有弧的颜色只能是同一个值。

回到你的问题：

• 并不是必须n=1才能进行着色，但无论n取多大（n≥1），Tₙ对纽结图的着色都只能是平凡着色——也就是所有弧使用同一个颜色。
• 当n>1时，你可以选择Tₙ里的任意一个元素作为统一颜色，得到n种不同的平凡着色方案，但不存在非平凡着色（即弧颜色不全相同的着色），因为交叉点的规则已经强制所有弧的颜色必须一致。

总结：存在n>1的平凡quandle可以给纽结图着色，但这些着色都是平凡的，没有非平凡的着色可能。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user113715