形如$(2^k-1)·10^m+2^{k-1}-1$的7s+6型素数猜想最小反例规模预估

好的，咱们来深入聊聊这个有趣的数论猜想。先明确一下咱们讨论的数的形式：
(2^k - 1)·10^m + 2^{k-1} - 1
这里的m是2^{k-1} - 1的十进制位数。

猜想的核心是：当这个数属于7s+6型（也就是模7余6）时，它永远不是素数；而其他模7剩余类的情况里，素数是存在的——而且有意思的是，7s+6型的数出现频率是7s+1型的两倍。截至k=131000，还没找到打破这个猜想的反例，但学界普遍推测反例是存在的。

最小反例的大致规模 #

要估计最小反例的规模，得从几个角度来看：

• 数的增长速度：这个数的量级是指数级的。2^k本身是指数增长，而10^m的m是2^{k-1}-1的位数，也就是约0.3(k-1)位，所以10^m近似等于2^{k-1}。整个数大概是2^k * 2^{k-1} = 2^{2k-1}的量级，对应的十进制位数约为0.6k位。当k=131000时，这个数已经有近8万位了，素性测试的计算成本极高。
• 反例出现的概率：大数里素数的密度是1/log(n)，而n是指数级增长的，所以随着k增大，这个数是素数的概率会指数级下降。再加上还要满足模7余6的条件，双重限制下，反例出现的概率极低，这也是为什么到k=131000都没找到的原因。
• 当前计算边界：既然到k=131000都无反例，最小反例的k大概率至少在几十万甚至上百万级别，对应的数的位数会达到几十万位。这样的数需要特殊的优化素性测试算法（比如ECPP或者Miller-Rabin的分布式计算）才能验证，普通的计算资源很难处理。

不过这里也要提一句：虽然推测反例存在，但数论里也有不少看起来应该有反例的猜想最终被证明是正确的。但从概率和现有数据来看，反例更可能是存在的，只是它的规模远超当前的常规计算范围。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Peter