切线斜率为0时法线方程的求解方法及实例疑问解析

嘿，这个问题的核心是遇到了水平切线的特殊情况，咱们一步步把逻辑理清楚：

先明确切线与法线的核心关系 #

首先，$m_T \cdot m_N = -1$这个斜率乘积公式，只适用于两条直线都存在非零斜率的情况。当切线斜率为0时，切线是水平直线（平行于x轴），这时候垂直于它的直线必然是竖直线（平行于y轴），而竖直线是没有定义斜率的（或者说斜率为无穷大），所以用斜率乘积公式就会出现$\frac{-1}{0}$这种未定式，这时候得回到几何定义来推导。

针对你的问题的推导过程 #

1. 切线的性质：你已经求出切线斜率$m_T=0$，说明切线是水平直线，方程为$y=\frac{17}{2}$——这条直线上所有点的y坐标都固定，平行于x轴。
2. 法线的几何要求：法线需要同时满足两个条件：
   • 垂直于切线；
   • 经过切点$(3, \frac{17}{2})$。
     因为水平直线的垂线是竖直线，而竖直线的方程形式是$x = c$（$c$是常数），又因为这条直线要经过$x=3$的切点，所以$c=3$，因此法线方程就是$x=3$。

通用步骤：当切线斜率为0时求法线方程 #

如果遇到任意曲线的切点处切线斜率为0：

• 第一步：确定切线是水平直线，方程为$y = y_0$（$y_0$是切点的y坐标）；
• 第二步：根据几何垂直关系，垂直于水平直线的是竖直线，其方程为$x = x_0$（$x_0$是切点的x坐标）；
• 注意：此时不要强行使用斜率乘积公式，因为竖直线无定义斜率，直接用几何垂直的性质推导即可。

小补充：关于你给出的切点 #

顺便提一句，把原曲线方程$x^2+6x+2y-8=0$整理为$y = -\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4$后，求导得$y' = -x -3$。当$y'=0$时，解得$x=-3$，对应的$y$值是$-\frac{1}{2}(-3)^2 -3(-3)+4 = -\frac{9}{2}+9+4=\frac{17}{2}$——所以正确的切点应该是$(-3, \frac{17}{2})$，而不是$(3, \frac{17}{2})$，不过这个小错误不影响我们解决核心问题~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Richard Marin