求证度量空间中全有界集相对紧的反向推导

首先得明确一个容易被忽略的核心前提：只有当度量空间$(X,d)$是完备空间时，反向推导（$E$全有界 $\Rightarrow E$相对紧）才成立——如果$X$不完备，这个结论是不成立的（比如取$X=\mathbb{Q}$，$E=(0,1)\cap\mathbb{Q}$，$E$全有界但$\overline{E}=[0,1]\cap\mathbb{Q}$不是紧集）。

假设我们已经确认$X$是完备度量空间，接下来一步步完成证明：

1. 目标转化：要证$E$相对紧，等价于证$\overline{E}$是紧集。而度量空间中紧集等价于序列紧（任意序列有收敛子列），所以我们只需证明：$\overline{E}$中的任意序列都有收敛到$\overline{E}$内的子列。

2. 用闭包性质取近似序列：设${x_n} \subseteq \overline{E}$，根据闭包的定义，对每个$n \in \mathbb{N}$，存在$y_n \in E$使得$d(x_n, y_n) < \frac{1}{n}$。

3. 提取柯西子列：因为$E$全有界，结合你提到的推论，${y_n}$中必然存在柯西子列${y_{n_k}}$（$k \in \mathbb{N}$）。

4. 推导原序列子列的柯西性：对应${x_n}$的子列${x_{n_k}}$，我们验证它是柯西列：
   $$
   d(x_{n_k}, x_{n_m}) \leq d(x_{n_k}, y_{n_k}) + d(y_{n_k}, y_{n_m}) + d(y_{n_m}, x_{n_m})
   $$
   代入$d(x_{n_k}, y_{n_k}) < \frac{1}{n_k}$，$d(x_{n_m}, y_{n_m}) < \frac{1}{n_m}$，当$k,m \to \infty$时，$\frac{1}{n_k}$和$\frac{1}{n_m}$都趋近于0，而${y_{n_k}}$是柯西列，$d(y_{n_k}, y_{n_m})$也趋近于0，因此$d(x_{n_k}, x_{n_m}) \to 0$，即${x_{n_k}}$是柯西列。

5. 利用完备性得到收敛性：因为$X$是完备度量空间，柯西列${x_{n_k}}$一定收敛到某个点$x \in X$。又因为$\overline{E}$是闭集，收敛序列的极限必然在闭集内，所以$x \in \overline{E}$。

6. 结论：$\overline{E}$是序列紧的，因此是紧集，即$E$相对紧。

如果之前没考虑到$X$完备这个前提，卡壳是很正常的——毕竟不完备空间里全有界集的闭包不一定紧，这是反向推导的核心逻辑基础。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者BSplitter