设n∈ℕ且2n+1、3n+1为平方数，已证8∣n，请求证5∣n

没问题，咱们来搞定5整除n的证明，思路和你之前证8整除n的逻辑类似——利用平方数在模5下的有限可能取值来推导：

首先回顾已知条件：

• 设自然数 (a,b)，满足 (2n + 1 = a^2)，(3n + 1 = b^2)（因为2n+1和3n+1都是完全平方数）。

第一步：明确平方数模5的可能结果 #

平方数对5取模，结果只能是0、1、4这三种，验证一下：

• (0^2 \equiv 0 \pmod{5})
• (1^2 \equiv 1,\ 2^2 \equiv 4,\ 3^2 = 9 \equiv 4,\ 4^2 = 16 \equiv 1 \pmod{5})
  没有其他可能，这是关键的前提。

第二步：把已知式子转化为模5的等式 #

从第一个式子变形：
(2n + 1 \equiv a^2 \pmod{5})
两边同时乘以2在模5下的逆元3（因为 (2 \times 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5})），得到：
(n \equiv 3(a^2 - 1) \pmod{5}) --- (1)

从第二个式子变形：
(3n + 1 \equiv b^2 \pmod{5})
两边同时乘以3在模5下的逆元2（因为 (3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5})），得到：
(n \equiv 2(b^2 - 1) \pmod{5}) --- (2)

第三步：联立等式，枚举平方数的可能值 #

联立(1)和(2)，可得：
(3(a^2 - 1) \equiv 2(b^2 - 1) \pmod{5})
展开整理后：
(3a^2 - 2b^2 \equiv 1 \pmod{5})

现在把a²的三种可能取值（0、1、4）分别代入，验证是否存在合法的b²（即b²必须是0、1、4中的一个）：

1. 当 (a^2 \equiv 0 \pmod{5})：
   代入得 (0 - 2b^2 \equiv 1 \pmod{5}) → (2b^2 \equiv -1 \equiv 4 \pmod{5}) → (b^2 \equiv 2 \pmod{5})。但2不是平方数模5的合法取值，排除这种情况。
2. 当 (a^2 \equiv 1 \pmod{5})：
   代入得 (3 \times 1 - 2b^2 \equiv 1 \pmod{5}) → (3 - 2b^2 \equiv 1 \pmod{5}) → (2b^2 \equiv 2 \pmod{5}) → (b^2 \equiv 1 \pmod{5})，这是合法的平方剩余。此时代入(1)式：(n \equiv 3(1-1) = 0 \pmod{5})，即5整除n，符合要求。
3. 当 (a^2 \equiv 4 \pmod{5})：
   代入得 (3 \times 4 - 2b^2 \equiv 1 \pmod{5}) → (12 - 2b^2 \equiv 1 \pmod{5})（12≡2 mod5）→ (2 - 2b^2 \equiv 1 \pmod{5}) → (2b^2 \equiv 1 \pmod{5}) → (b^2 \equiv 3 \pmod{5})。3不是平方数模5的合法取值，排除这种情况。

结论 #

只有当 (a^2 \equiv 1 \pmod{5}) 时，才能满足两个式子都是完全平方数的条件，此时 (n \equiv 0 \pmod{5})，也就是5整除n。

结合你已经完成的8整除n的证明，因为5和8互质，所以40整除n，整个命题得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user508947