求解模8下x²≡1同余式的所有解及相关疑问

没问题，我来一步步帮你理清这个问题～

一、求解$x^2 ≡ 1 \pmod{8}$的所有解 #

模8的剩余类是0到7，我们可以直接枚举每个数的平方模8的结果，找出符合条件的x：

• $0^2 = 0$，$0 \equiv 0 \pmod{8}$，不满足
• $1^2 = 1$，$1 \equiv 1 \pmod{8}$，满足，所以$x \equiv 1 \pmod{8}$是解
• $2^2 = 4$，$4 \equiv 4 \pmod{8}$，不满足
• $3^2 = 9$，$9 \div 8$余1，即$9 \equiv 1 \pmod{8}$，满足，$x \equiv 3 \pmod{8}$是解
• $4^2 = 16$，$16 \equiv 0 \pmod{8}$，不满足
• $5^2 = 25$，$25 \div 8$余1，$25 \equiv 1 \pmod{8}$，满足，$x \equiv 5 \pmod{8}$是解（其实5和-3模8等价，平方结果和3²一致）
• $6^2 = 36$，$36 \div 8$余4，$36 \equiv 4 \pmod{8}$，不满足
• $7^2 = 49$，$49 \div 8$余1，$49 \equiv 1 \pmod{8}$，满足，$x \equiv 7 \pmod{8}$是解（7和-1模8等价，平方结果和1²一致）

综上，这个同余式的所有解是：$x \equiv 1, 3, 5, 7 \pmod{8}$

二、为什么有的数乘法逆元等于自身？ #

你提到的“乘法逆元等于自身”，本质上就是这个数$a$满足$a \times a \equiv 1 \pmod{m}$，也就是我们刚才解的$a^2 \equiv 1 \pmod{m}$，两者是同一个问题。

我们可以把式子变形为：$(a-1)(a+1) \equiv 0 \pmod{m}$，这意味着$m$能整除$(a-1)(a+1)$。这里要注意，$a-1$和$a+1$是相差2的整数，它们的最大公约数要么是1（当$a$为偶数时，一奇一偶），要么是2（当$a$为奇数时，两个都是偶数）。

拿你说的模18的17举例：17和-1模18是等价的，而$(-1) \times (-1) = 1$，自然满足$17 \times 17 \equiv 1 \pmod{18}$，所以它的逆元就是自身。另外模18里的1也是如此，$1 \times 1 = 1 \equiv 1 \pmod{18}$。

再看模8的情况，我们找到的1、3、5、7，它们的逆元都是自身：

• $1 \times 1 = 1 \equiv 1 \pmod{8}$
• $3 \times 3 = 9 \equiv 1 \pmod{8}$
• $5 \times 5 = 25 \equiv 1 \pmod{8}$
• $7 \times 7 = 49 \equiv 1 \pmod{8}$

总结一下：如果$a \equiv 1 \pmod{m}$或者$a \equiv -1 \pmod{m}$，那它的逆元一定是自身；但有时候还会有其他解，比如模8的3和5，这是因为8能整除$(3-1)(3+1)=2 \times 4=8$，以及$(5-1)(5+1)=4 \times 6=24$（24是8的倍数），所以这些数也满足条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者RobWantsToLearn