证明R-模N=⊕ₙ∈ℕℤ不是有限生成的（R=∏ₙ∈ℕℤ）

咱们用反证法来推导这个结论，思路很直接：

假设$N$是有限生成的$R$-模，根据有限生成模的定义，必然存在有限个元素$x_1, x_2, \dots, x_k \in N$，使得$N$可以表示为这些元素的$R$-线性组合，也就是：
$$N = Rx_1 + Rx_2 + \dots + Rx_k$$

接下来抓一个关键性质：每个$x_i$属于直和$\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}$，这意味着每个$x_i$只有有限个非零分量。那我们可以找出一个正整数$M$，让它是所有$x_1, x_2, \dots, x_k$的非零分量的最大下标——换句话说，对任意$i$，当$n > M$时，$x_i$的第$n$位分量都是0。

现在看提示里给出的元素$e_{M+1}$：它是第$M+1$位为1、其余位全为0的向量，显然$e_{M+1} \in N$。根据假设，$e_{M+1}$可以写成$x_1$到$x_k$的$R$-线性组合：
$$e_{M+1} = r_1x_1 + r_2x_2 + \dots + r_kx_k$$
其中每个$r_j = (r_{j1}, r_{j2}, \dots) \in R = \prod_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}$。

现在咱们对比等式两边的第$M+1$位分量：

• 左边$e_{M+1}$的第$M+1$位分量是1；
• 右边每个$r_jx_j$的第$M+1$位分量是$r_{j(M+1)} \times (x_j的第M+1位分量)$，但我们之前选的$M$是所有$x_i$非零分量的最大下标，所以$x_j$的第$M+1$位分量是0，因此每个$r_jx_j$的第$M+1$位分量都是0，加起来右边整体的第$M+1$位分量就是0。

这就出现了矛盾：1≠0。说明我们最开始的假设“$N$是有限生成的”不成立，因此$N$不是有限生成的$R$-模。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者siwar