光滑单射映射是否为浸入？及相关浸入/浸没/嵌入推理正确性求证

问题1：光滑单射映射是否为浸入？ #

答案是否定的——存在光滑单射但不是浸入的映射。最经典的例子就是尖点映射：
定义 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ 为 $f(t) = (t^2, t^3)$。

• 光滑性：分量函数都是光滑多项式，整个映射自然光滑；
• 单射性：假设 $f(t_1)=f(t_2)$，则 $t_1^2 = t_2^2$ 且 $t_1^3 = t_2^3$。若 $t_1=-t_2$，则 $t_1^3=-t_23$，与等式矛盾，故只能 $t_1=t_2$，满足单射要求；
• 非浸入：计算 $t=0$ 处的微分 $f_*(0)$，其雅可比矩阵为 $\begin{pmatrix}0 \ 0\end{pmatrix}$，秩为0，小于定义域流形 $\mathbb{R}$ 的维数1，不满足浸入的核心要求（浸入要求每点微分的秩等于定义域流形的维数）。

问题2：你关于光滑单射→常秩→嵌入的推理是否正确？ #

这个推理有两处关键漏洞，咱们一步步拆解：

1. 第一步错误：光滑单射≠微分秩等于M的维数
   正如问题1的反例所示，光滑单射映射完全可能在某些点的微分秩低于定义域流形的维数，自然谈不上“秩等于M的维数”，更没法直接推出是常秩映射。
2. 第二步错误：就算是常秩单射浸入，也不一定是嵌入
   假设我们修正前提，让$f$是单射浸入（即每点微分秩等于M的维数，天然满足常秩），也不能直接得出它是嵌入。嵌入的定义是：单射浸入且是同胚到它的像上（这里的像装备子空间拓扑）。
   经典反例是环面上的稠密浸入：取无理数$\alpha$，定义$f: \mathbb{R} \to S^1 \times S^{1$为$f(t)=(e}{2\pi i t}, e^{2\pi i \alpha t})$。这个映射是光滑单射浸入，但它的像在环面中是稠密的，像的子空间拓扑和$\mathbb{R}$的拓扑不同胚（比如像中的有界集在$\mathbb{R}$中不一定有界），因此不是嵌入。

只有当单射浸入满足额外条件（比如定义域是紧致流形，或者是proper映射——紧集的原像仍是紧集）时，才能保证它是嵌入。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Orpheus