求证：当2n²±1为完全平方数时，(mn)²是三角数

API 探路者

2026-5-19

证明：当2n²±1为完全平方数时，(mn)²是三角数

首先先明确三角数的定义：一个正整数是三角数，当且仅当它可以表示为 ( T_k = \frac{k(k+1)}{2} )，其中 ( k ) 是某个正整数。所以我们的目标就是证明：存在正整数 ( k )，使得 ( (mn)^2 = \frac{k(k+1)}{2} )。

把这个等式变形，两边乘2后整理成二次方程形式：
[ k^2 + k - 2(mn)^2 = 0 ]
对于这个关于 ( k ) 的方程，它要有整数解的话，判别式必须是完全平方数。计算判别式：
[ \Delta = 1 + 8(mn)^2 ]
接下来我们就用已知的两种情况，分别证明这个判别式是完全平方数：

情况1：( m^2 = 2n^2 + 1 )

把 ( m^2 = 2n^2 + 1 ) 代入判别式展开计算：
[
\begin{align*}
1 + 8(mn)^2 &= 1 + 8m²ⁿ2 \
&= 1 + 8(2n^2 + 1)n^2 \
&= 1 + 16n^4 + 8n^2 \
&= (4n^2 + 1)^2
\end{align*}
]
这显然是一个完全平方数，对应的 ( k = \frac{-1 + \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{-1 + 4n^2 + 1}{2} = 2n^2 )。代入三角数公式验证：
[ T_{2n^2} = \frac{2n²⁽²ⁿ2 + 1)}{2} = n²⁽²ⁿ2 + 1) = n^2m2 = (mn)^2 ]
完全符合要求。

情况2：( m^2 = 2n^2 - 1 )

同样代入判别式展开：
[
\begin{align*}
1 + 8(mn)^2 &= 1 + 8m²ⁿ2 \
&= 1 + 8(2n^2 - 1)n^2 \
&= 1 + 16n^4 - 8n^2 \
&= (4n^2 - 1)^2
\end{align*}
]
这也是完全平方数，对应的 ( k = \frac{-1 + \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{-1 + 4n^2 - 1}{2} = 2n^2 - 1 )。代入三角数公式：
[ T_{2n^2 - 1} = \frac{(2n^2 - 1)2n^2}{2} = n²⁽²ⁿ2 - 1) = n^2m2 = (mn)^2 ]
同样满足条件。