n≥3时二面体群Dₙ的元素描述及元素个数证明问询

嘿，刚好最近在啃Gillan第8版的近世代数，这个二面体群的问题我刚梳理完，给你一步步理清楚！

先明确Dₙ的元素构成，再按你说的框架完成完备集合的证明：

一、Dₙ的元素描述 #

二面体群Dₙ本质是正n边形的对称群，包含两类完全不同的对称变换：

• 旋转元素：绕正n边形中心旋转角度为k*(2π/n)的变换，其中k=0,1,...,n-1。我们用r表示基础旋转（旋转2π/n），那么旋转元素可以记为r^0, r^1, ..., r^{n-1}，其中r^0是恒等变换（不旋转）。
• 反射元素：沿正n边形的对称轴的反射变换。正n边形有n条对称轴（n为奇数时每条过一个顶点和对边中点；n为偶数时一半过对顶点，一半过对边中点）。我们固定其中一条反射变换记为s，那么所有反射元素可以表示为s*r^0, s*r^1, ..., s*r^{n-1}（这里的群运算“*”是变换的复合，先做右边的旋转，再做左边的反射）。

二、证明元素个数为2n且是完备集合 #

按照你说的框架，我们先构造候选集合L，再证明L等于正n边形的对称群Σ（即Dₙ=Σ），从而L是完备集合，元素个数为2n。

步骤1：构造集合L并证明L⊆Σ #

令集合L = { r^k | k=0,1,...,n-1 } ∪ { s*r^k | k=0,1,...,n-1 }

• 所有旋转变换都是正n边形的对称，显然r^k ∈ Σ；
• 反射变换s是对称，而s*r^k相当于先将正n边形旋转k*(2π/n)，再沿固定轴反射，结果仍然是正n边形的一个对称（本质是沿另一条对称轴的反射），因此s*r^k ∈ Σ。
  同时，旋转元素和反射元素互不重叠：旋转变换保持顶点的循环方向（比如v₀→v₁→v₂...的顺序不变），而反射变换会反转这个方向，因此两类元素没有交集，所以|L|=n + n = 2n。

步骤2：证明Σ⊆L #

任取一个对称变换σ∈Σ（即σ是正n边形的任意对称），我们需要证明σ∈L：

1. 设正n边形的顶点按顺时针顺序为v₀, v₁, ..., v_{n-1}。σ作用在v₀上，必然将v₀映射到某个顶点v_k（k=0,1,...,n-1）。
2. 考虑变换r^{-k}*σ（先做σ，再做r^{-k}，即旋转-k*(2π/n)），这个变换会把v₀映射回v₀（因为σ(v₀)=v_k，r^{-k}(v_k)=v₀）。
3. 正n边形中固定顶点v₀的对称只有两种：
   • 恒等变换r^0（不做任何变换）；
   • 沿过v₀的对称轴的反射变换s。
4. 因此要么r^{-k}*σ = r^0，即σ = r^k；要么r^{-k}*σ = s，即σ = s*r^k。这两种情况都说明σ∈L。

结论 #

由L⊆Σ且Σ⊆L，可得Σ=L，即Dₙ=L，元素个数为2n，且L是Dₙ的完备元素集合。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jose