巴克《高等微积分》证明存疑：最后一步等式无法理解

我太懂这种“突然蹦出一个等式”的困惑了——严谨的数学证明里，作者有时候会默认一些基础的辅助结论是读者能自行补全的，但确实容易卡壳。咱们把巴克《高等微积分》里这个引理证明的逻辑链补完整，解决你卡壳的点：

引理：$\lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n} = 0$

证明里的关键补全：$k^2 < 2^{k-1}$ 的由来 #

证明中选取了整数$k$满足 $(k-1)^2 \leq n < k^2$，然后直接用了不等式 $k^2 < 2^{k-1}$——这个式子并不是凭空出现的，它可以通过数学归纳法独立证明：

1. 基础验证：当$k=7$时，左边$7^{2=49$，右边$2}{7-1}=64$，显然$49<64$成立；
2. 归纳假设：假设当$k=m$（$m\geq7$）时，$m^2 < 2^{m-1}$成立；
3. 归纳递推：当$k=m+1$时，$(m+1)^2 = m^2 + 2m + 1$。根据归纳假设，$m^2 < 2^{m-1}$，因此：
   $$(m+1)^2 < 2^{m-1} + 2m + 1$$
   只需证明 $2^{m-1} + 2m + 1 < 2^{m$（即$2×2}{m-1}$），等价于证 $2m + 1 < 2^{{m-1}$。当$m\geq7$时，$2}{m-1}$是指数增长，远快于左边的线性项$2m+1$（比如$m=7$时，$2×7+1=15 < 64=2^6$），显然成立。

回到原证明的推导 #

有了$k^2 < 2^{k-1}$，结合$n < k^2$，可得：
$$n < 2^{k-1}$$
对两边取对数（对数函数单调递增，不改变不等号方向）：
$$\log n < (k-1)\log 2$$
再结合$(k-1)^2 \leq n$，可得$k-1 \leq \sqrt{n}$，代入上式：
$$\log n < \sqrt{n} \log 2$$
两边除以$n$（$n>0$）：
$$\frac{\log n}{n} < \frac{\log 2}{\sqrt{n}}$$
当$n\to\infty$时，右边$\frac{\log 2}{\sqrt{n}}$趋近于0，根据夹逼准则，$\frac{\log n}{n}$的极限也为0，引理得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Curio