关于证明任意θ对应的旋转矩阵属于GL(2,$\mathbb{R}$)的疑问

嘿，我明白你现在的混淆点在哪里了——先给你划个重点：你不需要去证明封闭性、结合律这类群的公理，你的任务只是证明这个旋转矩阵是GL(2,ℝ)这个集合里的元素而已。

先明确一下GL(2,ℝ)的定义：它是所有2×2实可逆矩阵组成的集合（它本身确实是一个群，但那是已经被定义好的性质，和你当前的证明任务无关）。所以你要做的核心事情，就是证明：对任意实数θ，这个旋转矩阵是可逆的实方阵。

具体怎么做呢？两步就搞定：

• 计算矩阵的行列式
  给这个旋转矩阵起个名字，比如$M(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta& -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$，它的行列式计算如下：
  $$\det(M(\theta)) = (\cos\theta)(\cos\theta) - (-\sin\theta)(\sin\theta) = \cos^2\theta + \sin^2\theta$$
  用三角函数的基本恒等式，这个结果等于1，而1显然不等于0。

• 利用可逆矩阵的判定规则
  对于实方阵来说，行列式不为零就等价于矩阵可逆。既然$M(\theta)$的行列式恒为1（非零），那它肯定是可逆的实矩阵，自然就属于GL(2,ℝ)了。

额外给你补个小知识点：这个矩阵的逆其实就是把θ换成-θ后的旋转矩阵$M(-\theta)$，你可以自己乘一下验证，结果就是单位矩阵，这也能侧面证明它的可逆性。

总结来说，你的任务不是验证GL(2,ℝ)作为群的性质，只是确认这个旋转矩阵符合GL(2,ℝ)元素的要求——也就是可逆的实方阵，而行列式非零是最直接的证明方法。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者CrypticParadigm