数学竞赛题：已知P(x)恒正，求证Q(a₃) > -2？

最近在做一道数学竞赛题，卡在了最后一步，想请大家帮忙看看：

给定多项式：
$$P(x)=x^4+a_0 x^3+a_1 x^2+a_2 x+a_3$$
满足对任意实数$x$，都有$P(x)>0$；同时定义多项式：
$$Q(x)=a_3x^4+a_2 x^3+a_1x2+a_0 x$$
求证或证伪：$Q(a_3)>-2$。

我目前的推导过程是这样的：

• 首先，根据$Q(x)$的定义，很容易算出：
  $$Q(a_3)=a_3(a_3^4+a_2 a_3^2+a_1a_3+a_0)$$
• 然后由$P(x)>0$对所有实数$x$成立的条件，能得到几个关键结论：
  $$(a)_{a_3>0,}(b)_{1+a_0+a_1+a_2+a_3>0,}(c)~1-a_0+a_1-a_2+a_3>0$$
• 把不等式(b)和(c)相加，还能推出：
  $$a_1+a_3>-1$$

现在感觉离解出来只差一步，但就是找不到突破点，有没有大佬能给点思路或者提示呀？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者bluemaster