如何证明正整数m、n满足a≡b(mod n)与am≡bm(mod mn)等价？

没问题，咱们一步步把这个结论的双向推导拆明白，你一开始的逻辑方向完全正确，咱们把每一步都理清楚，确保可逆性：

正向推导：若a ≡ b (mod n)，则am ≡ bm (mod mn) #

• 根据模运算的核心定义，a ≡ b (mod n)等价于：存在整数k，使得 a - b = k * n。
• 因为m是正整数，我们给等式两边同时乘以m，得到：m(a - b) = m * k * n，整理后就是 am - bm = k * (mn)。
• 再回到模运算定义：如果两个整数的差是某个整数的倍数，那么这两个数模该整数同余。这里am - bm是mn的整数倍（k是整数），所以直接得出 am ≡ bm (mod mn)。

反向推导：若am ≡ bm (mod mn)，则a ≡ b (mod n) #

• 同样从定义出发，am ≡ bm (mod mn)意味着：存在整数t，使得 am - bm = t * mn。
• 把左边的公因子m提取出来，得到：m(a - b) = t * m * n。由于m是正整数（不为0），我们可以给等式两边同时除以m，得到 a - b = t * n。
• 这完全符合a ≡ b (mod n)的定义（差是n的整数倍），所以反向结论成立。

小结 #

你看，正向推导是把n的倍数放大为mn的倍数，反向推导则是把mn的倍数缩小回n的倍数——因为m是正整数，乘法和除法（约去m）都不会破坏整数的倍数关系，所以整个推导过程是完全可逆的，刚好对应你最初的猜想~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者RobWantsToLearn