如何推导公式E[X]=∫_{-∞}^∞ p(x)dx？求概率论专业解答

嗨，这个推导其实没那么复杂，核心是用指示函数和积分与期望交换顺序的技巧，咱们一步步来理清楚：

1. 把区间长度X转化为积分形式 #

首先，区间长度 ( X = R - L )，我们可以用指示函数把它写成积分的形式：

X = R - L = ∫_{-∞}^∞ I(L ≤ x ≤ R) dx

这里的 I(·) 是指示函数——当括号里的条件满足时取值1，否则取0。这个等式的逻辑很直观：每个落在区间 ([L,R]) 里的x都会给积分贡献1，积分的结果自然就是区间的总长度。

2. 对等式两边取期望 #

接下来，我们对等式两边取期望 ( E[\cdot] )：

E[X] = E[∫_{-∞}^∞ I(L ≤ x ≤ R) dx]

3. 交换期望与积分的顺序 #

根据富比尼定理（这里因为指示函数非负，积分绝对收敛的条件自动满足），我们可以把期望和积分的顺序交换：

E[X] = ∫_{-∞}^∞ E[I(L ≤ x ≤ R)] dx

4. 关联到p(x)的定义 #

现在看里面的期望项 ( E[I(L ≤ x ≤ R)] )，根据指示函数的期望性质，它正好等于事件 ( {L ≤ x ≤ R} ) 发生的概率——也就是题目里定义的 ( p(x) = \text{Pr}{L ≤ x ≤ R} )。

把这个代入进去，就得到了我们要的结论：

E[X] = ∫_{-∞}^∞ p(x) dx

额外补充一句：这个结论的适用性很广，不管L和R的联合分布是什么（只要满足 ( L ≤ R )），推导过程都成立，因为我们没有对分布做任何额外的限制~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rosa Maria Gtz.