求△ABC中tanA+tanB+tanC的值，已知三边为三次方程的根

嘿，你已经通过韦达定理算出了$a+b+c=24$，$ab+bc+ca=180$，$abc=420$，这是非常关键的第一步！接下来咱们结合三角形的三角函数性质一步步推导：

核心公式：三角形正切和的恒等式 #

在$\triangle ABC$中，$A+B+C=\pi$，因此：
$$\tan(A+B)=\tan(\pi-C)=-\tan C$$
展开左边的正切和公式：
$$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}=-\tan C$$
整理后可得恒等式：
$$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$$
这意味着我们只需要求出$\tan A \tan B \tan C$的值，就能得到目标结果。

用面积和余弦定理关联正切与边长 #

首先用海伦公式计算三角形面积$S$：

• 半周长$p=\frac{a+b+c}{2}=12$
• 由海伦公式：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

展开$(p-a)(p-b)(p-c)$：
$$(12-a)(12-b)(12-c)=12^3 -12^2(a+b+c)+12(ab+bc+ca)-abc$$
代入已知值：
$$=1728 - 144\times24 +12\times180 -420=12$$
因此$S=\sqrt{12\times12}=12$。

接下来，对任意角$A$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}bc\sin A$可得$\sin A=\frac{2S}{bc}=\frac{24}{bc}$；再由余弦定理$\cos A=\frac{b^2+c2-a^2}{2bc}$，因此：
$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\frac{24}{bc}}{\frac{b^2+c2-a^{2}{2bc}}=\frac{48}{b}2+c^2-a2}$$

化简$b^2+c2-a^2$ #

利用$a+b+c=24$和$ab+bc+ca=180$，对$b^2+c2-a^2$进行变形：
$$b^2+c2-a^2=(b+c)2-2bc-a^2=(24-a)2-2bc-a^2$$
展开并代入$bc=180-a(b+c)=180-a(24-a)=a^2-24a+180$：
$$=576-48a+a^2-2(a2-24a+180)=216-2a^2=2(108-a2)$$
同理可得：
$$a^2+c2-b^2=2(108-b2),\quad a^2+b2-c^2=2(108-c2)$$

计算$\tan A \tan B \tan C$ #

将上述结果代入正切表达式：
$$\tan A=\frac{48}{2(108-a^{2)}=\frac{24}{108-a}2}$$
同理$\tan B=\frac{24}{108-b^2}$，$\tan C=\frac{24}{108-c^2}$，因此：
$$\tan A \tan B \tan C=\frac{24^3}{(108-a2)(108-b^2)(108-c2)}$$

计算分母$(108-a^2)(108-b2)(108-c^2)$ #

展开该式：
$$(108-a^2)(108-b2)(108-c²⁾⁼¹⁰⁸3 -108^2(a2+b^2+c2)+108(a^2b2+b^2c2+c^2a2)-(abc)^2$$
分别计算各项：

• $a^2+b2+c^2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=24^2-2\times180=216$
• $a^2b2+b^2c2+c^2a2=(ab+bc+ca)^{2-2abc(a+b+c)=180}2-2\times420\times24=12240$
• $(abc)²⁼⁴²⁰2=176400$

代入数值：
$$=1259712 - 11664\times216 +108\times12240 -176400=-114192$$

代入计算最终结果 #

$$\tan A \tan B \tan C=\frac{24^3}{-114192}=\frac{13824}{-114192}=-\frac{96}{793}$$

结合之前的恒等式，可得：
$$\tan A + \tan B + \tan C=-\frac{96}{793}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DXT