p进形式幂级数倒数系数p进估值有下界可能性问询

答案是不存在这样的下界，我们可以通过具体例子和理论推导来说明：

首先明确问题条件：$f \in \mathbb{Z}_p[[t]]$，$p \mid a_0$（即常数项$a_0$的p进估值$v_p(a_0) \geq 1$），且$f \notin p\mathbb{Z}_p[[t]]$（即存在某个系数$a_i$是$\mathbb{Z}_p$中的单位，$v_p(a_i)=0$）。我们需要判断$\frac{1}{f} \in \mathbb{Q}_p[[t]]$的系数是否存在统一的p进估值下界。

构造反例 #

取$p=2$，$f = 2 + t$，显然：

• $f \in \mathbb{Z}_2[[t]]$，常数项$a_0=2$满足$2 \mid a_0$；
• $a_1=1$是$\mathbb{Z}_2$中的单位，所以$f \notin 2\mathbb{Z}_2[[t]]$，完全符合题设条件。

现在计算$\frac{1}{f}$：
$$
\frac{1}{2 + t} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{t}{2}}
$$
利用形式几何级数展开（$\frac{t}{2}$在$\mathbb{Q}2[[t]]$中满足展开条件）：
$$
\frac{1}{1 + \frac{t}{2}} = \sum{n=0}^\infty (-1)^n \left( \frac{t}{2} \right)^n
$$
因此：
$$
\frac{1}{f} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot 2^{-(n+1)} t^n
$$
对于这个展开式的系数$c_n = (-1)^n \cdot 2^{-(n+1)}$，其2进估值为$v_2(c_n) = -(n+1)$。当$n$趋向无穷时，$v_2(c_n)$会无限减小、趋向负无穷——显然不存在一个固定整数$b$，能让所有$v_2(c_n) \geq b$。

一般情况的推导 #

对于任意满足条件的$p$和$f$，设$m$是最小的正整数使得$v_p(a_m)=0$（因为$p \mid a_0$，所以$m \geq 1$），我们可以把$f$写成$f = a_0 + a_1 t + \dots + a_m t^m + \dots$，其中$v_p(a_0)=k \geq1$，$v_p(a_m)=0$。

通过递推式计算$\frac{1}{f} = \sum_{n=0}^\infty c_n t^n$的系数：

• 常数项：$a_0 c_0 = 1 \implies c_0 = 1/a_0$，$v_p(c_0) = -k$；
• 对于$n \geq1$，$c_n = -\frac{1}{a_0} \sum_{i=1}^n a_i c_{n-i}$。

当计算到$n=m$时，递推式包含$a_m c_0$这一项，其估值为$v_p(a_m) + v_p(c_0) = 0 + (-k) = -k$，而其他项$a_i c_{n-i}$（$i < m$）的估值$\geq v_p(a_i) + v_p(c_{n-i}) \geq 1 + v_p(c_{n-i})$。为了让这些项的和抵消$a_m c_0$，必然存在某个$c_{n-i}$的估值$\leq -k -1$。以此类推，随着$n$增大，系数的估值会不断减小，没有下界。

综上，满足题设条件的$\frac{1}{f}$，其系数的p进估值不存在统一的下界。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user355183