求7阶秩4实矩阵P+aa^T的最小秩（2017 IIT JAM真题）

问题描述 #

设P是7×7的实矩阵，秩为4，a∈ℝ⁷为列向量，求矩阵P + aaᵀ的秩至少为多少？该问题出自2017年IIT JAM试卷。

分析过程 #

首先梳理几个关键的矩阵秩性质：

• 矩阵aaᵀ是秩1矩阵（若a为零向量，aaᵀ就是零矩阵，此时P+aaᵀ的秩等于P的秩4，但我们要找最小可能的秩，所以聚焦a非零的情况）。
• 利用秩的基本不等式：对任意两个矩阵A、B，有rank(A+B) ≥ |rank(A) - rank(B)|。代入本题的参数，rank(P)=4，rank(aaᵀ)=1，因此可以得到下界：rank(P+aaᵀ) ≥ 4-1=3。

接下来需要验证秩3是否真的可以达到——我们可以构造具体的例子来证明存在这样的P和a：

1. 构造7×7矩阵P：
   • P的前4行分别为(1,0,0,0,0,0,0)、(0,1,0,0,0,0,0)、(0,0,1,0,0,0,0)、(0,0,0,-1,0,0,0)，后3行全部为0。显然P的秩是4（前4行线性无关）。
2. 取列向量a=(0,0,0,1,0,0,0)^T（这个向量属于P的列空间）。
3. 计算P+aaᵀ：
   • 第4行第4列的元素会变为-1 + 1×1=0，其余元素和原矩阵P一致。此时P+aaᵀ的前4行中，第4行全为0，前3行是标准基向量，后3行也全为0，整个矩阵的秩恰好是3。

结论 #

矩阵P + aaᵀ的秩至少为3。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anu