若流形M含于流形N且具子空间拓扑，是否为正则子流形？

关于正则子流形的两个问题解答 #

1. 一个流形包含于另一个流形时，它一定是正则子流形吗？

当然不是。单纯的集合包含关系完全不够——正则子流形的要求要严格得多：它需要和外围流形的微分结构“适配”，直白点说，就是在局部上能被外围流形的坐标卡“掰平”成某个线性子空间的切片。

2. 反过来：如果$M \subset N$（N是流形），M带着N的子空间拓扑本身也是流形，那M一定是N的正则子流形吗？

还是否定的，这里有个很直观的反例：

看$\mathbb{R}^2$里的子集$M = {(x, |x|) \mid x \in \mathbb{R}}$，也就是平面上的“V形线”：

• 先看它是不是流形：我们可以把它和实数轴$\mathbb{R}$做个同胚映射——让$f(t) = (t, |t|)$，这个映射是双射，而且$f$和它的逆（把$(x, |x|)$送回$x$）都是连续的，所以M带着子空间拓扑就是个1维流形，和$\mathbb{R}$拓扑等价。
• 但它不是$\mathbb{R}^{2$的正则子流形：假设它是，那对于原点$(0,0)$，按照正则子流形的定义，$\mathbb{R}}2$里得有个包含原点的坐标卡$(U, \phi)$，能把$U \cap M$映射成$\phi(U)$和$\mathbb{R}^1 \times {0}$的交集（也就是一条直线段）。但M在原点附近是个“角”，不管怎么取$\mathbb{R}^2$的坐标卡，同胚映射没法把这个角变成直线段——因为角点的邻域是两个开区间拼起来的，而直线段上点的邻域就是单个开区间，拓扑结构不一样，这就矛盾了。所以M满足“自身是带子空间拓扑的流形”，但不是正则子流形。

说白了，正则子流形不仅要求自己是流形，还得在外围流形里“嵌”得规矩，局部能和外围的坐标系统兼容成线性切片；而仅仅自身是带子空间拓扑的流形，只达标了拓扑层面，没满足微分结构的相容性要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者fhn