如何用复数证明恒等式？求m>1时P=∏cot(kπ/(2m))的值

嘿，作为高二学生能想到用单位根来 tackle 这个问题真的超棒！咱们完全用你说的复数基本性质（n次单位根）和三角函数基础转换来解决，绝对不用那些高等方法～

一、先回顾关键的单位根推导的正弦乘积公式 #

首先咱们先把你提到的那个$\prod_{k=1}^{{n-1}\sin{\frac{kπ}{n}}=\frac{n}{2}{n-1}}$公式用单位根严格推一遍，帮你打通瓶颈：

我们知道n次单位根满足$z^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1}(z - e^{2πi k/n})$，两边除以$z-1$（$z≠1$）得到：
z^{n-1} + z^{n-2} + ... + 1 = \prod_{k=1}^{n-1}(z - e^{2πi k/n})

令$z=1$，左边就是$n$，右边是$\prod_{k=1}^{n-1}(1 - e^{2πi k/n})$，所以：
\prod_{k=1}^{n-1}(1 - e^{2πi k/n}) = n

接下来取模长，$|1 - e^{2πi k/n}| = |e^{πi k/n}(e^{-πi k/n} - e^{πi k/n})| = |-2i\sin{\frac{kπ}{n}}| = 2\sin{\frac{kπ}{n}}$（因为$\sin{\frac{kπ}{n}}>0$，$k=1,...,n-1$）。

两边取模长乘积：
\prod_{k=1}^{n-1}|1 - e^{2πi k/n}| = 2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin{\frac{kπ}{n}}

左边等于$|n|=n$，所以整理得：
\prod_{k=1}^{n-1}\sin{\frac{kπ}{n}} = \frac{n}{2^{n-1}}

这个公式就是咱们后续的核心工具啦。

二、计算$\prod_{k=1}^{m-1}\sin{\frac{kπ}{2m}}$ #

令$n=2m$代入上面的公式：
\prod_{k=1}^{2m-1}\sin{\frac{kπ}{2m}} = \frac{2m}{2^{2m-1}} = \frac{m}{2^{2m-2}}

现在把这个乘积拆成三部分：
\prod_{k=1}^{2m-1}\sin{\frac{kπ}{2m}} = \prod_{k=1}^{m-1}\sin{\frac{kπ}{2m}} \cdot \sin{\frac{mπ}{2m}} \cdot \prod_{k=m+1}^{2m-1}\sin{\frac{kπ}{2m}}

注意：

1. $\sin{\frac{mπ}{2m}} = \sin{\frac{π}{2}} = 1$
2. 对于$k=m+1,...,2m-1$，令$j=2m -k$，则$j=1,...,m-1$，且$\sin{\frac{kπ}{2m}} = \sin{(π - \frac{jπ}{2m})} = \sin{\frac{jπ}{2m}}$，所以$\prod_{k=m+1}^{2m-1}\sin{\frac{kπ}{2m}} = \prod_{j=1}^{m-1}\sin{\frac{jπ}{2m}}$

因此上面的式子可以写成：
(\prod_{k=1}^{m-1}\sin{\frac{kπ}{2m}})^2 = \frac{m}{2^{2m-2}}

两边开方（所有正弦值都是正的，因为$\frac{kπ}{2m}∈(0,\frac{π}{2})$）：
\prod_{k=1}^{m-1}\sin{\frac{kπ}{2m}} = \frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}

三、计算$\prod_{k=1}^{m-1}\cos{\frac{kπ}{2m}}$ #

利用三角函数的诱导公式：$\cos{x} = \sin{(\frac{π}{2} - x)}$，所以：
\cos{\frac{kπ}{2m}} = \sin{(\frac{π}{2} - \frac{kπ}{2m})} = \sin{\frac{(m -k)π}{2m}}

那余弦乘积就可以转化为：
\prod_{k=1}^{m-1}\cos{\frac{kπ}{2m}} = \prod_{k=1}^{m-1}\sin{\frac{(m -k)π}{2m}}

令$j=m -k$，当$k$从1到$m-1$时，$j$从$m-1$到1，所以乘积顺序不影响结果：
\prod_{k=1}^{m-1}\sin{\frac{(m -k)π}{2m}} = \prod_{j=1}^{m-1}\sin{\frac{jπ}{2m}}

这就说明余弦乘积和正弦乘积相等：
\prod_{k=1}^{m-1}\cos{\frac{kπ}{2m}} = \frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}

四、求解$P=\prod_{k=1}^{m-1}\cot{\frac{kπ}{2m}}$ #

因为$\cot{x} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}}$，所以：
P = \frac{\prod_{k=1}^{m-1}\cos{\frac{kπ}{2m}}}{\prod_{k=1}^{m-1}\sin{\frac{kπ}{2m}}} = \frac{\frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}}{\frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}} = 1

是不是很简洁？不管$m>1$是哪个整数，这个乘积的结果都是1！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user454960