若解析函数f'在z₀处有k阶零点，求证f(z)-f(z₀)=g(z)^(k+1)

我来帮你把这个证明的思路理顺，其实你已经走对了第一步，只差后续的关键步骤啦：

首先，你已经正确地将$f'(z)$在$z_0$的邻域内表示为：
$$f'(z)=(z-z_0)^k h(z)$$
这里$h(z)$是$z_0$邻域内的非零解析函数，这一步完全没问题。接下来我们顺着这个思路往下推进：

步骤1：转化为积分形式 #

因为$f$是解析函数，在$z_0$的足够小邻域$\Omega_1 \subset \Omega$内，对任意$z \in \Omega_1$，有：
$$f(z)-f(z_0)=\int_{z_0}^z f'(w)dw$$
把$f'(w)=(w-z_0)^k h(w)$代入，得到：
$$f(z)-f(z_0)=\int_{z_0}^z (w-z_0)^k h(w)dw$$

步骤2：提取高阶零点因子 #

做变量替换$t=w-z_0$，积分变为：
$$\int_{0}^{z-z_0} t^k h(z_0 + t)dt$$
由于$h(z)$在$z_0$处解析，$h(z_0 + t)$可展开为幂级数：
$$h(z_0 + t)=h(z_0)+h'(z_0)t+\frac{h''(z_0)}{2!}t^2+\dots$$
逐项积分后，我们可以提取出$(z-z_0)^{k+1}$这个因子，得到：
$$f(z)-f(z_0)=(z-z_0)^{k+1} \cdot F(z)$$
这里的$F(z)$是$\Omega_1$内的解析函数，且$F(z_0)=\frac{h(z_0)}{k+1} \neq 0$（因为$h(z_0)\neq0$），也就是说$F(z)$在$\Omega_1$内是非零解析的。

步骤3：构造解析的次方根 #

我们可以把$\Omega_1$取成$z_0$的单连通邻域（比如开圆盘），单连通区域内的非零解析函数一定存在解析对数——即存在$\Omega_1$内的解析函数$\psi(z)$，使得：
$$F(z)=\exp(\psi(z))$$
基于此，我们定义$F(z)$的$(k+1)$次方根函数：
$$g_1(z)=\exp\left( \frac{\psi(z)}{k+1} \right)$$
显然$g_1(z)$在$\Omega_1$内解析且非零，并且满足$g_1(z)^{k+1}=F(z)$。

步骤4：构造满足条件的$g(z)$ #

最后，我们令：
$$g(z)=(z-z_0) \cdot g_1(z)$$

• $g(z)$在$\Omega_1$内解析；
• $(z-z_0)$在$z_0$处是1阶零点，$g_1(z_0)\neq0$，所以$g(z)$在$z_0$处是1阶零点；
• 验证等式：
  $$g(z)^{{k+1}=(z-z_0)}{k+1} \cdot g_1(z)^{{k+1}=(z-z_0)}{k+1}F(z)=f(z)-f(z_0)$$
  完全符合题目要求。

你之前卡住的地方，应该是没把积分后的表达式转化为带非零因子的形式，以及后续利用解析对数构造次方根的步骤~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mariah