施瓦茨空间卷积恒等式证明问询：傅里叶变换推导

我来帮你补全这个推导过程，顺便逐一验证每一步的正确性～首先明确我们用到的符号定义：

• $\mathcal{F}f = \hat{f}$：傅里叶变换，定义为$\hat{f}(\xi) = (2\pi)^{-d/2} \int_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-i x \cdot \xi} dx$
• $\mathcal{F}^{-1}\hat{f} = f^{\vee}$：逆傅里叶变换
• $Rf(x) = f(-x)$：反射算子
• 已知乘积的傅里叶变换恒等式：$(2\pi)^{d/2} (f_1 f_2)^{\wedge} = \hat{f_1} \star \hat{f_2}$，等价形式为$(2\pi)^{d/2} (f_1 f_2) = (\hat{f_1} \star \hat{f_2})^{\vee}$

完整推导过程 #

$$
\begin{align*}
(f_1 \star f_2)^{\wedge} &= \mathcal{F}^{-1} \left( \mathcal{F}^2 (f_1 \star f_2) \right) \
&= \left( R(f_1 \star f_2) \right)^{\vee} \
&= \left( Rf_1 \star Rf_2 \right)^{\vee} \
&= \left( \hat{\hat{f_1}} \star \hat{\hat{f_2}} \right)^{\vee} \
&= (2\pi)^{d/2} \hat{f_1} \hat{f_2}
\end{align*}
$$

每一步的正确性验证 #

• 第一步：利用傅里叶变换的双射性。对于施瓦茨函数空间$\mathcal{S}(\mathbb{R}^{d)$，傅里叶变换是双射，因此$\mathcal{F}}{-1}(\mathcal{F}(g)) = g$。令$g = \mathcal{F}(f_1 \star f_2)$，则$\mathcal{F}(f_1 \star f_2) = \mathcal{F}^{{-1}(\mathcal{F}}2(f_1 \star f_2))$，完全成立。
• 第二步：傅里叶变换两次等于反射。通过傅里叶变换的定义直接计算可得$\mathcal{F}^2 f(x) = f(-x) = Rf(x)$，施瓦茨函数的绝对可积性保证了积分交换顺序合法，因此这一步成立。
• 第三步：反射算子与卷积可交换。我们通过变量替换证明：
  $$
  \begin{align*}
  R(f_1 \star f_2)(x) &= (f_1 \star f_2)(-x) = \int_{\mathbb{R}^d} f_1(-x - y)f_2(y)dy \
  &\xlongequal{z=-y} \int_{\mathbb{R}^d} f_1(-x + z)f_2(-z)dz = \int_{\mathbb{R}^d} Rf_1(x - z)Rf_2(z)dz \
  &= (Rf_1 \star Rf_2)(x)
  \end{align*}
  $$
  因此$R(f_1 \star f_2) = Rf_1 \star Rf_2$，这一步的等号成立。
• 第四步：$\hat{\hat{f}} = Rf$。这就是$\mathcal{F}^2 f = Rf$的另一种写法，直接由傅里叶变换的二次迭代性质得到，成立。
• 第五步：代入已知恒等式。将$h_1 = \hat{f_1}$、$h_2 = \hat{f_2}$代入已知的等价恒等式$(2\pi)^{d/2}(h_1 h_2) = (\hat{h_1} \star \hat{h_2})^{\vee}$，注意施瓦茨函数的傅里叶变换仍是施瓦茨函数，满足恒等式的适用条件，因此可以直接替换得到结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者stackedtritones