求给定多项式子空间U、W、U∩W、U+W的基与维数

我来一步步拆解这个子空间的基与维数问题，咱们逐个分析每个子空间：

要确定$U$的基和维数，我们把$U$中的三个多项式对应到$\mathbb{R}^{4$中的坐标（按常数项、$x$项、$x}2$项、$x^3$项的系数顺序排列），构造出如下矩阵：
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \ 1 & 0 & 1\ 0 & 1 & 1\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
对该矩阵进行行初等变换后，得到行最简形：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
这说明原来的三个多项式线性无关，因此**${1+x+x^3, x^2-1, 1+x+x^2}$就是$U$的一组基**，且$U$的维数$\text{dim}(U)=3$。

$W$是$\mathbb{R}_3[x]$中满足$p(1)=p(2)$的多项式集合。设$p(x)=a+bx+cx^2+dx3$（其中$a,b,c,d\in\mathbb{R}$），代入条件$p(1)=p(2)$：
$$a+b+c+d = a+2b+4c+8d$$
化简后得到约束方程：$b+3c+7d=0$，即$b=-3c-7d$。

将$b$用$c$和$d$替换后，$p(x)$可以重新表示为：
$$p(x) = a\cdot1 + c\cdot(-3x+x^2) + d\cdot(-7x+x^3)$$
这里$a,c,d$是任意实数，我们可以选取三个线性无关的多项式作为$W$的基：${1, -3x+x^2, -7x+x^3}$，对应的维数$\text{dim}(W)=3$（因为有3个自由变量$a,c,d$）。

$U∩W$是同时属于$U$和$W$的多项式集合。$U$中的任意元素都可以表示为其基的线性组合：
$$p(x) = k_1(1+x+x^3) + k_2(x^2-1) + k_3(1+x+x^2) \quad (k_1,k_2,k_3\in\mathbb{R})$$
先把$p(x)$整理成标准形式：
$$p(x) = (k_1 - k_2 + k_3) + (k_1 + k_3)x + (k_2 + k_3)x^2 + k_1x^3$$
因为$p(x)\in W$，所以必须满足$p(1)=p(2)$。代入计算：

• $p(1) = (k_1 -k_2 +k_3)+(k_1+k_3)+(k_2+k_3)+k_1 = 3k_1 + 3k_3$
• $p(2) = (k_1 -k_2 +k_3)+2(k_1+k_3)+4(k_2+k_3)+8k_1 = 11k_1 + 3k_2 +7k_3$

令$p(1)=p(2)$，化简得到约束条件：
$$8k_1 +3k_2 +4k_3=0$$
这是一个线性方程，解空间的维数为$3-1=2$。我们可以选取两个线性无关的解来构造基：

• 取$k_1=3, k_2=-8, k_3=0$，对应的多项式为$3(1+x+x^3)-8(x2-1)=11+3x-8x^2+3x3$
• 取$k_1=1, k_2=0, k_3=-2$，对应的多项式为$(1+x+x^3)-2(1+x+x2)=-1-x-2x^2+x3$

这两个多项式线性无关，因此**${11+3x-8x^2+3x3, -1-x-2x^2+x3}$是$U∩W$的一组基**，维数$\text{dim}(U∩W)=2$。

根据线性空间的维数公式：
$$\text{dim}(U+W) = \text{dim}(U) + \text{dim}(W) - \text{dim}(U∩W)$$
代入已知的维数：$\text{dim}(U+W)=3+3-2=4$。

而$\mathbb{R}_3[x]$的维数恰好是4，说明$U+W=\mathbb{R}_3[x]$，它的一组基可以取标准基**${1, x, x^2, x^3}$**（或者也可以将$U$和$W$的基合并后剔除线性相关的元素，得到的结果一致）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gbox