求解定积分$\int^{\pi}_{0}\frac{1}{\sqrt{a-\cos x}}dx$，恳请协助完成计算

嘿，你选的万能代换思路完全没问题，咱们接着往下把这个积分搞定！首先先明确前提条件：这个积分收敛的必要条件是$a > 1$——毕竟$\cos x$的最大值是1，只有$a>1$时，根号里的$a-\cos x$才能始终保持正数，积分才有意义。

步骤1：完成万能代换后的整理 #

你已经用$\cos x =\frac{1-\tan^{2\frac{x}{2}}{1+\tan}2\frac{x}{2}}$做了换元，咱们再把这个过程梳理得更顺畅些：
令$t = \tan\frac{x}{2}$，则：

• 当$x=0$时，$t=0$；当$x=\pi$时，$t \to +\infty$
• $dx = \frac{2dt}{1+t^2}$
• 代入$\cos x$的表达式后，根号内的部分可以化简为：
  $$a - \cos x = \frac{a(1+t^2)-(1-t2)}{1+t^2} = \frac{(a-1)+(a+1)t^2}{1+t2}$$

把这些代入原积分，约分后就能得到更简洁的形式：
$$\int^{\pi}{0}\frac{1}{\sqrt{a-\cos x}}dx = 2\int{0}^{{+\infty}\frac{dt}{\sqrt{(1+t}2)\left[(a-1)+(a+1)t^2\right]}}$$

步骤2：转化为第一类完全椭圆积分 #

这个积分没法用初等函数表示，最终结果会用到第一类完全椭圆积分（一种常用的特殊函数）。咱们做个换元把它凑成标准形式：
令$k = \sqrt{\frac{2}{a+1}}$（因为$a>1$，所以$0<k<1$，符合椭圆积分的参数要求），再对积分式做三角换元$t = \tan\theta$，整理后就能得到：
$$2\int_{0}^{{+\infty}\frac{dt}{\sqrt{(1+t}2)\left[(a-1)+(a+1)t^2\right]}} = \frac{2}{\sqrt{a+1}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2\sin2\theta}}$$

而第一类完全椭圆积分的定义就是：
$$K(k) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2\sin2\theta}}$$

最终结果 #

把$k = \sqrt{\frac{2}{a+1}}$代入，原积分的结果就出来了：
$$\int^{\pi}_{0}\frac{1}{\sqrt{a-\cos x}}dx = \frac{2}{\sqrt{a+1}}K\left(\sqrt{\frac{2}{a+1}}\right)$$

注：第一类完全椭圆积分在工程、物理领域应用很广，Mathematica、Maple等数学软件都内置了计算它的函数，也可以通过查表或级数展开的方式近似计算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DXT