独立抛硬币概率问题：求n次正面先于m次反面的概率

首先得指出你思路里的小错误：你只考虑了前$n+m-1$次抛掷恰好出现$n$次正面的情况，但实际上，只要前$n+m-1$次里正面次数≥$n$，都属于“n次正面先于m次反面”的范畴——因为此时反面次数最多是$(n+m-1)-n = m-1$，说明在抛掷过程中从未达到过$m$次反面，而已经成功凑够了$n$次正面。你漏掉了正面次数多于$n$的那些情况，这就是和书中结果不符的原因。

下面给你两种常用的正确解法：

方法一：组合计数法 #

事件“n次正面先于m次反面”等价于：在前$n+m-1$次抛掷中，正面出现的次数≥n。原因很简单：

• 如果前$n+m-1$次正面≥n，那么反面次数≤m-1，意味着我们在还没凑够m次反面时，就已经得到了n次正面；
• 反过来，如果n次正面先出现，那么当我们得到第n次正面时，反面次数最多是m-1，此时总抛掷次数≤n+(m-1)=n+m-1，所以前$n+m-1$次里正面次数必然≥n。

因此，概率可以表示为所有正面次数$k$从$n$到$n+m-1$的概率之和：
$$
P = \sum_{k=n}^{n+m-1} \binom{n+m-1}{k} p^k (1-p)^{n+m-1-k}
$$

举个例子验证：当$n=2, m=2$时，代入得：
$$
P = \binom{3}{2}p^2(1-p) + \binom{3}{3}p^3 = 3p^2(1-p) + p^3 = 3p^2 - 2p^3
$$
这个结果和实际场景的逻辑一致（比如“正正反”“正反正”“反正正”“正正正”都是符合条件的情况，概率加起来就是这个值）。

方法二：递推法 #

我们可以用递推的思路更直观地推导结果：
设$P(a,b)$表示当前已经累计$a$次正面、$b$次反面时，最终n次正面先于m次反面的概率。

边界条件 #

• 当$a=n$时，已经达成目标，所以$P(n,b)=1$（不管当前有多少次反面）；
• 当$b=m$时，已经失败，所以$P(a,m)=0$（不管当前有多少次正面）。

递推公式 #

对于$a < n$且$b < m$的情况，下一次抛掷有$p$概率得到正面，转移到$P(a+1,b)$；有$1-p$概率得到反面，转移到$P(a,b+1)$，因此：
$$
P(a,b) = p \cdot P(a+1,b) + (1-p) \cdot P(a,b+1)
$$

我们要求的初始状态是$P(0,0)$，通过展开递推式，可以得到和组合法一致的结果。如果$p \neq 1/2$，还可以推导出更简洁的闭合形式：
$$
P = \frac{1 - \left( \frac{1-p}{p} \right)^n}{1 - \left( \frac{1-p}{p} \right)^{n+m}}
$$
（当$p=1/2$时，结果简化为$\frac{n}{n+m}$，符合直觉）

另外，也可以从“首次出现n次正面时，反面次数小于m”的角度出发，概率等于：
$$
P = \sum_{k=0}^{m-1} \binom{n+k-1}{n-1} p^n (1-p)^k
$$
这个式子和组合法的求和式是等价的，你可以尝试展开验证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yaron Scherf