已知传播子$G(x_{f},x_{i};t)=\langle x_{f}|\exp\left[-i\hat Ht/\hbar\right]|x_{i}\rangle$，能否确定本征函数与本征值？
当然可以！传播子$G(x_f, x_i; t)$其实打包了哈密顿量的全部谱信息——毕竟它就是演化算符在位置表象下的矩阵元，所以完全能从中抠出本征函数和本征值。下面我一步步给你拆解清楚：
一、从传播子提取本征函数的核心思路
首先回忆哈密顿量的本征态满足$\hat{H}|\psi_n\rangle = E_n|\psi_n\rangle$，演化算符可以展开成本征态的谱分解：
$$\exp\left[-i\hat{H}t/\hbar\right] = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n| \exp\left[-iE_n t/\hbar\right]$$
把这个代入传播子的定义式$G(x_{f},x_{i};t)=\langle x_{f}|\exp\left[-i\hat Ht/\hbar\right]|x_{i}\rangle$，就能得到传播子的谱分解形式：
$$G(x_f, x_i; t) = \sum_n \psi_n(x_f)^* \psi_n(x_i) \exp\left[-iE_n t/\hbar\right]$$
这里$\psi_n(x) = \langle x|\psi_n\rangle$是本征函数的位置表象。
接下来的关键操作是逆傅里叶变换——因为这个求和式是不同频率的指数函数叠加，我们可以对时间$t$做傅里叶变换来分离每个本征态的贡献：
定义傅里叶变换后的传播子（也叫能量表象传播子）：
$$G(x_f, x_i; E) = \int_{-\infty}^{\infty} dt , G(x_f, x_i; t) \exp\left[iEt/\hbar\right]$$
代入谱分解式，交换求和与积分顺序：
$$G(x_f, x_i; E) = \sum_n \psi_n(x_f)^* \psi_n(x_i) \int_{-\infty}^{\infty} dt , \exp\left[i(E - E_n)t/\hbar\right]$$
这个积分的结果是$\hbar 2\pi \delta(E - E_n)$，所以最终得到：
$$G(x_f, x_i; E) = 2\pi\hbar \sum_n \psi_n(x_f)^* \psi_n(x_i) \delta(E - E_n)$$
这时候，如果你固定$x_i$，观察$G(x_f, x_i; E)$在$E=E_n$处的$\delta$函数权重，就能得到$\psi_n(x_f)^* \psi_n(x_i)$。再结合本征函数的正交归一性，比如对$x_i$积分或者取特定的$x_i$值，就能单独提取出$\psi_n(x)$的具体形式。举个例子：对于束缚态系统，傅里叶变换后的传播子在$E=E_n$处会出现极点，极点的留数就正比于$\psi_n(x_f)^* \psi_n(x_i)$，通过归一化就能确定本征函数。
二、从传播子提取本征值的两种常用方法
本征值的提取其实和上面的步骤紧密相关，常用的有两种途径：
- 傅里叶变换找极点：刚才提到，傅里叶变换后的$G(x_f, x_i; E)$在$E=E_n$处会出现极点（对应束缚态），这些极点的位置就是哈密顿量的本征值$E_n$。对于连续谱，会出现分支割线，对应的就是连续的本征值范围。
- 长时间演化的频率分析：回到传播子的原始形式，当$t$趋近于无穷大时，传播子的主导项来自能量最低的本征态（因为指数项$\exp[-iE_n t/\hbar]$的振荡频率由$E_n$决定，低能态的振荡更慢，长时间下权重更大）。通过计算$\frac{d}{dt} \arg G(x_f, x_i; t)$，当$t$足够大时，这个导数会趋近于$-E_n/\hbar$，反过来就能算出$E_n$。
另外你提到“已知传播子就已在某种表象下知晓哈密顿量”——更准确地说，传播子是演化算符的位置表象，而演化算符由哈密顿量唯一确定（假设哈密顿量不含时），所以传播子天然包含了哈密顿量的所有谱信息，和表象无关。
补充：用含时薛定谔方程的直接推导
传播子满足含时薛定谔方程（TDSE）：
$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} G(x_f, x_i; t) = \hat{H}(x_f) G(x_f, x_i; t)$$
这里$\hat{H}(x_f)$是位置表象下的哈密顿量算符（比如$\hat{H} = -\frac{\hbar2}{2m}\frac{d2}{dx^2} + V(x)$）。
假设传播子可以写成$\sum_n \phi_n(x_f) \chi_n(x_i) \exp[-iE_n t/\hbar]$，代入TDSE后：
左边化简为$\sum_n \phi_n(x_f) \chi_n(x_i) E_n \exp[-iE_n t/\hbar]$，右边是$\sum_n \hat{H}(x_f)\phi_n(x_f) \chi_n(x_i) \exp[-iE_n t/\hbar]$。
由于等式对所有$t$都成立，对应指数项的系数必须相等：
$$\hat{H}(x_f)\phi_n(x_f) = E_n \phi_n(x_f)$$
这直接说明$\phi_n(x)$就是哈密顿量的本征函数，$E_n$是对应的本征值。再结合传播子的初始条件$G(x_f, x_i; 0) = \delta(x_f - x_i)$，可以得到$\sum_n \phi_n(x_f)\chi_n(x_i) = \delta(x_f - x_i)$，利用正交归一性就能推出$\chi_n(x_i) = \phi_n(x_i)^*$，和之前的谱分解结果一致。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Draco_1125
