求过空间两点A=(2,5,1)与B=(3,0,3)的直线参数方程

首先要告诉你，你给出的两个尝试解都是完全正确的！下面我来拆解推导过程，帮你理解为什么这两个方程都能表示这条直线：

1. 先确定直线的方向向量 #

过两点的直线方向向量可以通过两点坐标相减得到：
$$\overrightarrow{AB} = B - A = (3-2, 0-5, 3-1) = (1, -5, 2)$$
只要是和这个向量共线的向量（比如它的相反数$(-1,5,-2)$），都可以作为这条直线的方向向量——这也是你能得到两种不同参数方程的核心原因。

2. 两种参数方程的推导逻辑 #

空间直线参数方程的本质是：任选直线上一点作为起点，加上方向向量的参数倍，一般形式为：
$$\begin{cases}
x = x_0 + at \
y = y_0 + bt \
z = z_0 + ct
\end{cases}$$
其中$(x_0,y_0,z_0)$是直线上的任意一点，$(a,b,c)$是方向向量，$t$为任意实数参数。

• 第一种形式（以A为起点，方向向量取$\overrightarrow{AB}$）
  把A点坐标(2,5,1)和方向向量(1,-5,2)代入公式，就得到你写出的第一个方程：
  $$\begin{cases}
  x=2+t \
  y=5-5t \
  z=1+2t
  \end{cases}$$
  当参数$t=1$时，就能得到点B的坐标，完全符合过A、B两点的要求。

• 第二种形式（以B为起点，方向向量取$\overrightarrow{BA}$）
  $\overrightarrow{BA} = A - B = (-1,5,-2)$，把B点坐标(3,0,3)和这个方向向量代入，就得到第二个方程：
  $$\begin{cases}
  x=3-t \
  y=5t \
  z=3-2t
  \end{cases}$$
  这里的参数$t$和第一个方程的$t$是相反数关系，当$t=1$时会得到点A的坐标，同样能准确表示这条直线。

总结 #

你给出的两个参数方程都是有效的，它们只是选取了不同的起点和相反的方向向量，本质上描述的是同一条过A、B两点的空间直线。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sam