有限维向量空间线性变换T∘S=0的命题证明/证伪及困惑解答

1. 命题：若$T≠0$，则$S$不可逆 #

你的反证法思路完全正确，逻辑非常严谨，根本不存在问题哦！我再把这个证明的细节补全帮你确认：

假设$S$是可逆的线性变换，那么必然存在逆变换$S^{-1}:V→V$，满足$S \circ S^{-1} = S^{-1} \circ S = \text{id}_V$（$V$上的恒等变换）。

已知条件是$T \circ S = 0$（这里的$0$指零变换，即把所有向量映射到零向量的变换），我们对这个等式两边同时右复合$S^{-1}$：
$$T \circ S \circ S^{-1} = 0 \circ S^{-1}$$

左边化简后就是$T \circ \text{id}_V = T$，右边零变换复合任何变换还是零变换，所以直接得到$T = 0$，这和题设中$T≠0$的条件矛盾。因此假设不成立，$S$一定不可逆。这个命题是真命题。

2. 命题：$\text{dim(ker}(T)) + \text{dim(ker}(S)) \geq \text{dim}(V)$ #

这个命题也是真命题，我们可以利用线性代数里的秩-零度定理来证明：

首先回忆秩-零度定理：对于任意有限维向量空间上的线性变换$A:V→V$，都有
$$\text{dim(ker}(A)) + \text{rank}(A) = \text{dim}(V)$$
其中$\text{rank}(A)$是$A$的像空间$\text{Im}(A)$的维数。

已知$T \circ S = 0$，这意味着$S$的像空间里的所有向量，经过$T$变换后都会被映射到零向量，也就是$\text{Im}(S) \subseteq \text{ker}(T)$。根据维数的单调性，我们有：
$$\text{rank}(S) = \text{dim(Im}(S)) \leq \text{dim(ker}(T))$$

再结合秩-零度定理，$\text{dim(ker}(S)) = \text{dim}(V) - \text{rank}(S)$，把它代入不等式左边：
$$\text{dim(ker}(T)) + \text{dim(ker}(S)) \geq \text{rank}(S) + (\text{dim}(V) - \text{rank}(S)) = \text{dim}(V)$$

这样就证明了这个不等式成立，命题2也是真命题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gbox