矩阵范数与行列式：可逆矩阵行列式差的估计问题

我最近在啃这个线性代数的问题：给定两个n阶可逆方阵A、B，满足$|A-B|≤cε^{n$（其中$0<ε<1$，c是某个常数），需要证明存在常数c'，使得$|\det(A)-\det(B)|≤c'ε}n$。下面先说说我已经推到一半的思路，再补全完整的证明过程：

第一步：利用伴随矩阵与逆矩阵的关系推导行列式的范数表达式 #

已知可逆方阵的逆矩阵公式：
$$A^{-1} = \frac{\mathrm{adj}(A)}{\det(A)}$$
对两边取矩阵范数（这里假设用的是满足相容性的范数，比如算子范数），根据范数的齐次性和相容性，可得：
$$|A^{-1}| = \frac{|\mathrm{adj}(A)|}{|\det(A)|}$$
整理后就能得到行列式的绝对值和伴随矩阵范数、逆矩阵范数的关系：
$$|\det(A)| = \frac{|\mathrm{adj}(A)|}{|A^{-1}|}$$
同理，对矩阵B也有完全一样的式子：
$$|\det(B)| = \frac{|\mathrm{adj}(B)|}{|B^{-1}|}$$

第二步：换个更直接的思路——利用行列式的扰动展开 #

刚才从伴随矩阵差入手的推导有点绕，后来我想到用行列式的扰动性质会更简洁：
因为B可以写成$B = A + (B-A)$，所以：
$$\det(B) = \det(A + (B-A)) = \det(A) \cdot \det\left(I + A^{-1}(B-A)\right)$$
令$C = A^{-1}(B-A)$，那么$|C| ≤ |A^{-1}| \cdot |B-A| ≤ |A^{-1}|cεn$。由于$0<ε<1$，结合A可逆的条件（$|A^{-1}|$是固定有界的），$|C|$是一个很小的量。

接下来利用矩阵行列式的展开式：对于任意矩阵C，$\det(I+C)$可以展开为：
$$\det(I+C) = 1 + \mathrm{tr}(C) + \frac{1}{2!}\left(\mathrm{tr}(C)^2 - \mathrm{tr}(C^2)\right) + \dots + \det(C)$$
注意到每一项的绝对值都不超过$K|C|^k$（k≥1，K是只和n有关的常数），所以整个展开式与1的差满足：
$$|\det(I+C) - 1| ≤ H|C|$$
这里H是一个由n决定的常数（因为所有高阶项的和也是$O(|C|)$）。

第三步：完成估计 #

把上面的结果代入行列式差的表达式：
$$|\det(B) - \det(A)| = \left|\det(A)\left(\det(I+C) - 1\right)\right| = |\det(A)| \cdot |\det(I+C)-1|$$
代入$|\det(I+C)-1| ≤ H|C|$和$|C| ≤ |A^{-1}|cεn$，可得：
$$|\det(B)-\det(A)| ≤ |\det(A)| \cdot H \cdot |A^{-1}| \cdot cε^n$$
令$c' = |\det(A)|H|A^{{-1}|c$，因为A是固定的可逆矩阵，$|\det(A)|$和$|A}{-1}|$都是正数常数，所以c'也是一个常数，这样就得到了：
$$|\det(A)-\det(B)| ≤ c'ε^n$$

补充：回到最初的伴随矩阵思路补全 #

如果坚持用伴随矩阵的差来推导，也可以继续：
首先，伴随矩阵有一个性质：对于n阶方阵M，$|\mathrm{adj}(M)| ≤ C|M|^{n-1}$（C是和n、范数类型相关的常数）。结合$|B| ≤ |A| + |A-B| ≤ |A| + cε^n$，可知$|\mathrm{adj}(A)|$和$|\mathrm{adj}(B)|$都是有界的。

然后利用逆矩阵的扰动估计：当$|A-B| < \frac{1}{|A^{-1}|}$时，
$$|B^{-1} - A^{-1}| ≤ \frac{|A^{-1}|2|A-B|}{1 - |A^{-1}||A-B|}$$
这说明$|B^{-1}|$和$|A{-1}|$同阶，也是有界的。

接下来对$|\det(A)| - |\det(B)|$的绝对值做拆分：
$$||\det(A)| - |\det(B)|| = \left| \frac{|\mathrm{adj}(A)|}{|A^{-1}|} - \frac{|\mathrm{adj}(B)|}{|B^{-1}|} \right| = \frac{\left| |\mathrm{adj}(A)||B^{-1}| - |\mathrm{adj}(B)||A^{-1}| \right|}{|A^{-1}||B{-1}|}$$
用三角不等式拆分分子：
$$≤ \frac{|\mathrm{adj}(A)| \cdot ||B^{-1}| - |A^{-1}|| + |A^{-1}| \cdot ||\mathrm{adj}(A)| - |\mathrm{adj}(B)||}{|A^{-1}||B{-1}|}$$
代入前面的估计（$||B^{-1}| - |A^{-1}|| ≤ O(|A-B|)$，$||\mathrm{adj}(A)| - |\mathrm{adj}(B)|| ≤ O(|A-B|)$），最终也能得到$||\det(A)| - |\det(B)|| ≤ O(ε^n)$，结合$\det(A)$、$\det(B)$非零的条件，同样能推导出目标不等式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者S.N.A