勒贝格积分中泰勒级数的应用：求证积分极限等于1

嘿，刚接触测度论的话，这个积分极限问题确实需要结合收敛定理来推进，你已经搞定了上界为1的证明，这一步非常关键！接下来我们就把极限等于1的证明补全，顺便聊聊常见的相关疑问：

核心证明：利用单调收敛定理（MCT） #

首先我们先分析被积函数的单调性：
对每个固定的$x \in X$，令$t = f(x) \geq 0$，考虑序列$g_n(t) = n\ln\left(1+\frac{t}{n}\right)$。我们可以证明：当$n$增大时，$g_n(t)$是单调递增的，且$\lim_{n\to\infty}g_n(t) = t$。

为什么单调递增？我们可以把$n$看作实数变量求导验证：

令$h(n) = n\ln\left(1+\frac{t}{n}\right)$，求导得：
$$h'(n) = \ln\left(1+\frac{t}{n}\right) + n \cdot \frac{-\frac{t}{n^2}}{1+\frac{t}{n}} = \ln\left(1+\frac{t}{n}\right) - \frac{\frac{t}{n}}{1+\frac{t}{n}}$$
令$x = \frac{t}{n} \geq 0$，则$h'(n) = \ln(1+x) - \frac{x}{1+x}$。对$x \geq 0$，$\ln(1+x) \geq \frac{x}{1+x}$（因为导数$\frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2} \geq 0$，且$x=0$时等号成立），所以$h'(n) \geq 0$，即$h(n)$随$n$增大单调递增。

而极限部分，利用等价无穷小：当$n\to\infty$时，$\frac{t}{n} \to 0$，$\ln\left(1+\frac{t}{n}\right) \sim \frac{t}{n}$，因此$n\ln\left(1+\frac{t}{n}\right) \to t$。

现在，我们满足单调收敛定理的条件：

1. 对每个$n$，$g_n(f(x)) = n\ln\left(1+\frac{f(x)}{n}\right)$是非负可测函数；
2. 序列$g_n(f(x))$单调递增到$f(x)$；
3. $f$是可积函数（$\int_X f d\mu = 1$）。

根据单调收敛定理，我们可以交换极限和积分：
$$\lim_{n\to\infty} \int_X n\ln\left(1 + \frac{f}{n}\right), d\mu = \int_X \lim_{n\to\infty} n\ln\left(1 + \frac{f}{n}\right), d\mu = \int_X f d\mu = 1$$

另一种思路：利用控制收敛定理（DCT） #

如果你更习惯用控制收敛定理，也可以这样做：
你已经证明了对任意$n$，$n\ln\left(1+\frac{f(x)}{n}\right) \leq f(x)$（因为$\ln(1+x) \leq x$对所有$x \geq 0$成立）。而$f(x)$是可积的，这就找到了一个可积的控制函数。

同时，对每个$x$，$\lim_{n\to\infty}n\ln\left(1+\frac{f(x)}{n}\right) = f(x)$，满足控制收敛定理的条件，因此同样可以交换极限和积分，得到极限等于1的结论。

常见相关疑问解答 #

• 为什么必须用收敛定理？：刚接触测度论时，很容易想直接交换极限和积分，但这在测度论中是有严格条件的（不像微积分中的连续函数积分）。如果没有单调或可积控制函数的保证，直接交换可能会出错，这里刚好满足MCT或DCT的条件，所以才能安全交换。
• 如果$f$不可积怎么办？：这个问题中$\int_X f d\mu=1$保证了$f$可积，是关键前提。如果$f$不可积，极限可能不存在或者不等于$\int f d\mu$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John Mayne