给定递推公式与初始值，如何证明数列yₙ与zₙ相等？

嘿，其实你一开始想到的数学归纳法完全是正确的路子呀！可能是推导的时候没找对化简的关键点，我来帮你把这个过程理清楚：

方法一：直接用数学归纳法证明 #

• 基础步骤（n=1）：
  已知初始值 (y_1 = z_1 = 2)，显然 (y_1 = z_1)，成立。

• 归纳假设：
  假设当 (n = k) 时，(y_k = z_k) 成立。令 (A = \frac{y_k}{2^k} = \frac{z_k}{2^k})（因为 (y_k = z_k)，所以这个等式成立）。

• 归纳推导（证明 (y_{k+1} = z_{k+1})）：
  先写出 (y_{k+1}) 的表达式并平方：
  [
  y_{k+1}^2 = \left(2^{k\sqrt{2(1-\sqrt{1-A}2})}\right)^2 = 2^{2k} \cdot 2(1-\sqrt{1-A^2}) = 2^{{2k+1}(1-\sqrt{1-A}2})
  ]
  再写出 (z_{k+1}) 的表达式并平方：
  [
  z_{k+1}^2 = \left(\frac{2z_k}{\sqrt{2(1+ \sqrt{1-A^2})}}\right)2 = \frac{4z_k^2}{2(1+ \sqrt{1-A^2})} = \frac{2 \cdot (2^k A)^2}{1+ \sqrt{1-A^2}} = \frac{2^{2k+1}A2}{1+ \sqrt{1-A^2}}
  ]
  对 (z_{k+1}^2) 的分母有理化，分子分母同乘 (1-\sqrt{1-A^2})：
  [
  z_{k+1}^2 = \frac{2^{2k+1}A2(1-\sqrt{1-A^2})}{(1+ \sqrt{1-A^{2})(1-\sqrt{1-A}2})}
  ]
  分母展开后是 (1 - (1-A^2) = A^2)，所以：
  [
  z_{k+1}^2 = \frac{2^{2k+1}A2(1-\sqrt{1-A^2})}{A2} = 2^{{2k+1}(1-\sqrt{1-A}2})
  ]
  可以看到 (y_{k+1}^2 = z_{k+1}^2)，而根据递推式的定义，(y_n) 和 (z_n) 都是正数（初始值为正，后续运算都是根号和正数相乘/相除），所以 (y_{k+1} = z_{k+1})。

  由数学归纳法，对所有正整数 (n)，(z_n = y_n) 成立。

方法二：转化为三角函数表达式（更直观） #

我们可以通过三角代换把递推式简化，直接写出 (y_n) 和 (z_n) 的通项公式：

• 对于 (y_n)：设 (y_n = 2^n \sin\alpha_n)，初始值 (y_1 = 2 = 2^1 \sin\alpha_1)，得 (\alpha_1 = \frac{\pi}{2})。
  代入递推式：
  [
  y_{n+1} = 2^{n\sqrt{2(1-\sqrt{1-\sin}2\alpha_n})} = 2^n\sqrt{2(1-\cos\alpha_n)}
  ]
  利用三角恒等式 (1-\cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2})，化简得：
  [
  y_{n+1} = 2^n\sqrt{2 \cdot 2\sin^2\frac{\alpha_n}{2}} = 2^n \cdot 2\sin\frac{\alpha_n}{2} = 2^{n+1}\sin\frac{\alpha_n}{2}
  ]
  所以 (\alpha_{n+1} = \frac{\alpha_n}{2})，递推得 (\alpha_n = \frac{\pi}{2^n})，因此 (y_n = 2^n \sin\frac{\pi}{2^n})。

• 对于 (z_n)：设 (z_n = 2^n \sin\beta_n)，初始值 (z_1 = 2 = 2^1 \sin\beta_1)，得 (\beta_1 = \frac{\pi}{2})。
  代入递推式：
  [
  z_{n+1} = \frac{2 \cdot 2^n \sin\beta_n}{\sqrt{2(1+ \sqrt{1-\sin^2\beta_n})}} = \frac{2^{n+1}\sin\beta_n}{\sqrt{2(1+\cos\beta_n)}}
  ]
  利用三角恒等式 (1+\cos\beta = 2\cos^2\frac{\beta}{2}) 和 (\sin\beta = 2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2})，化简得：
  [
  z_{n+1} = \frac{2^{n+1} \cdot 2\sin\frac{\beta_n}{2}\cos\frac{\beta_n}{2}}{\sqrt{2 \cdot 2\cos^2\frac{\beta_n}{2}}} = \frac{2^{n+2}\sin\frac{\beta_n}{2}\cos\frac{\beta_n}{2}}{2\cos\frac{\beta_n}{2}} = 2^{n+1}\sin\frac{\beta_n}{2}
  ]
  所以 (\beta_{n+1} = \frac{\beta_n}{2})，递推得 (\beta_n = \frac{\pi}{2^n})，因此 (z_n = 2^n \sin\frac{\pi}{2^n})。

  显然 (y_n) 和 (z_n) 的通项公式完全相同，所以 (z_n = y_n)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者StevenCr99