如何证明对所有极限序数η，δ_η=ℵ_{δ_η}？（附δ_η超限递归定义）

好的，咱们一步步拆解这个证明，先从明确定义和关键性质开始：

首先，题目里给出的δ序列是通过超限递归定义的：
$$
\begin{align*}
\delta_0 &= 0, \
\delta_{t+1} &= \aleph_{\delta_t}, \
\delta_\eta &= \sup{\delta_\xi : \xi < \eta} \quad \text{当}\ \eta\ \text{为极限序数时}.
\end{align*}
$$

要证明的结论是：对任意极限序数η，有δ_η = ℵ_{δ_η}。

关键前提回顾 #

首先得记住ℵ序列的两个核心性质，这是证明的基础：

• 严格递增性：对任意序数α < β，有ℵ_α < ℵ_β；
• 连续性：对任意极限序数α，有ℵ_α = \sup{\ℵ_ξ : ξ < α}（这是ℵ序列在极限序数处的定义）。

证明步骤 #

1. 先确认δ_η是极限序数
   因为η是极限序数，δ序列是严格递增的（δ_ξ < δ_{ξ+1} = ℵ_{δ_ξ}，而ℵ_{δ_ξ} > δ_ξ），所以δ_η作为严格递增序列{δ_ξ}的上确界，必然是一个极限序数（没有最大的前驱元素）。

2. 利用ℵ的连续性转化目标
   既然δ_η是极限序数，根据ℵ的连续性，我们可以把ℵ_{δ_η}转化为上确界形式：
   $$
   ℵ_{δ_η} = \sup{\ℵ_ξ : ξ < δ_η}
   $$
   现在问题就转化为证明：$\delta_η = \sup{\ℵ_ξ : ξ < δ_η}$，我们可以通过双向夹逼来证明这个等式。

3. 证明$\delta_η \leq \sup{\ℵ_ξ : ξ < δ_η}$
   对于任意ξ < η，根据δ序列的定义，$\delta_ξ < δ_{ξ+1} = ℵ_{δ_ξ}$。而因为δ序列严格递增，$\delta_ξ < δ_η$，所以$\ℵ_{δ_ξ} < ℵ_{δ_η}$（严格递增性）。这意味着每个$\delta_ξ$都小于某个$\ℵ_{ξ'} \in {\ℵ_ξ : ξ < δ_η}$，因此$\sup{\delta_ξ : ξ < η} = δ_η$必然小于等于这些ℵ数的上确界，即：
   $$
   δ_η \leq \sup{\ℵ_ξ : ξ < δ_η}
   $$

4. 证明$\sup{\ℵ_ξ : ξ < δ_η} \leq δ_η$
   任取一个$\ℵ_ξ$，其中ξ < δ_η。因为δ_η是$\sup{\delta_ζ : ζ < η}$，所以存在某个ζ < η，使得ξ < δ_ζ（上确界的定义：任何小于上确界的元素都小于序列中的某个元素）。
   根据ℵ的严格递增性，$\ℵ_ξ < ℵ_{δ_ζ}$，而根据δ序列的定义，$\ℵ_{δ_ζ} = δ_{ζ+1}$。
   又因为η是极限序数，ζ < η意味着ζ+1 < η（极限序数没有最大元素），而δ序列严格递增，所以$δ_{ζ+1} < δ_η$。
   综上，$\ℵ_ξ < δ_{ζ+1} < δ_η$，这说明每个$\ℵ_ξ$（ξ < δ_η）都小于δ_η，因此它们的上确界也必然小于等于δ_η：
   $$
   \sup{\ℵ_ξ : ξ < δ_η} \leq δ_η
   $$

5. 结合双向不等式得出结论
   由步骤3和步骤4的双向不等式，我们得到：
   $$
   δ_η = \sup{\ℵ_ξ : ξ < δ_η} = ℵ_{δ_η}
   $$

这样就完成了对所有极限序数η，$\delta_η = ℵ_{δ_η}$的证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ma Joad