求助：用最小化方法推导ℝⁿ中点到超平面的距离公式
嘿，我来帮你把这个推导过程理清楚——其实核心思路和二维点到直线的最小化推导是相通的，只是把维度扩展到n维后，用拉格朗日乘数法来处理带约束的优化问题就好啦，咱们一步步来：
1. 明确问题与目标
给定n维超平面的方程：
$$H: a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + b = 0$$
以及空间中的点$x_0 = (x_0^{(1)}, x_0^{(2)}, \dots, x_0^{(n)})$，我们的目标是找到超平面$H$上的点$x=(x_1,x_2,\dots,x_n)$，使得两点间的欧氏距离$|x - x_0|$最小。这个最小值就是点到超平面的距离。
为了计算方便，我们可以先最小化距离的平方（因为平方是单调递增函数，最小值点一致），所以目标函数转化为：
$$\min_{x \in H} f(x) = |x - x_0|^2 = \sum_{i=1}^n (x_i - x_0{(i)})2$$
约束条件就是点$x$在超平面上：$a_1x_1 + \dots + a_nx_n + b = 0$
2. 构造拉格朗日函数
处理带约束的优化问题，拉格朗日乘数法是最直接的工具。我们构造拉格朗日函数：
$$L(x, \lambda) = \sum_{i=1}^n (x_i - x_0{(i)})2 + \lambda\left(a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + b\right)$$
这里$\lambda$是拉格朗日乘数，用来把约束条件融入到目标函数中。
3. 求偏导找极值点（关键代换步骤）
对拉格朗日函数中的每个变量$x_i$求偏导，并令偏导数为0（极值点的必要条件）：
$$\frac{\partial L}{\partial x_i} = 2(x_i - x_0^{(i)}) + \lambda a_i = 0$$
解这个式子，就能得到超平面上极值点$x_i$和已知点$x_0^{(i)}$、超平面系数$a_i$的关系——这就是你需要的代换技巧：
$$x_i = x_0^{(i)} - \frac{\lambda}{2}a_i \quad (i=1,2,\dots,n)$$
4. 代入约束条件求解λ
把上面得到的$x_i$表达式代入超平面的约束方程$a_1x_1 + \dots + a_nx_n + b = 0$：
$$\sum_{i=1}^n a_i\left(x_0^{(i)} - \frac{\lambda}{2}a_i\right) + b = 0$$
展开并整理：
$$\sum_{i=1}^n a_i x_0^{(i)} - \frac{\lambda}{2}\sum_{i=1}^n a_i^2 + b = 0$$
解出$\frac{\lambda}{2}$：
$$\frac{\lambda}{2} = \frac{\sum_{i=1}^n a_i x_0^{(i)} + b}{\sum_{i=1}^n a_i^2}$$
5. 计算最小距离
现在我们来计算最小距离的平方$|x - x_0|^2$，根据之前的代换式$x_i - x_0^{(i)} = -\frac{\lambda}{2}a_i$，代入得：
$$|x - x_0|^2 = \sum_{i=1}^n \left(x_i - x_0{(i)}\right)2 = \sum_{i=1}^n \left(-\frac{\lambda}{2}a_i\right)^2 = \left(\frac{\lambda}{2}\right)^2 \sum_{i=1}^n a_i^2$$
把刚才解出的$\frac{\lambda}{2}$代入上式：
$$|x - x_0|^2 = \left( \frac{\sum_{i=1}^n a_i x_0^{(i)} + b}{\sum_{i=1}^n a_i^2} \right)^2 \cdot \sum_{i=1}^n a_i^2 = \frac{\left(\sum_{i=1}^n a_i x_0^{(i)} + b\right)2}{\sum_{i=1}n a_i^2}$$
最后对两边开平方，因为距离是非负的，所以取绝对值：
$$|x - x_0| = \frac{\left|a_1x_0^{(1)} + a_2x_0^{(2)} + \dots + a_nx_0^{(n)} + b\right|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}}$$
这样就得到了你已知的距离公式啦～本质上就是把二维里的思路用拉格朗日乘数法推广到n维，核心的代换就是通过偏导得到极值点和已知点的线性关系，再代入约束求解参数。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者user1691278
