关于$1 - \cos(x)$及$\frac{1-\cos(x)}{x}$在x趋近于0时的极限问询

让我一步步帮你理清这几个关于极限的问题：

1. 求$\boldsymbol{1 - \cos(x)}$当$\boldsymbol{x}$趋近于0时的极限 #

我们可以用两种直观的方法求解：

• 方法一：利用余弦函数的连续性。$\cos(x)$在$x=0$处是连续函数，所以$\lim_{x \to 0} \cos(x) = \cos(0) = 1$，因此：
  $$\lim_{x \to 0} [1 - \cos(x)] = 1 - \lim_{x \to 0} \cos(x) = 1 - 1 = 0$$
• 方法二：借助三角恒等式。我们知道$1 - \cos(x) = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$，当$x \to 0$时，$\sin\left(\frac{x}{2}\right)$和$\frac{x}{2}$是等价无穷小，代入后：
  $$\lim_{x \to 0} 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2} = 0$$

2. $\boldsymbol{1 - \cos(x)}$当$\boldsymbol{x}$趋近于0时的极限是否存在？若存在，其值为多少？ #

这个极限肯定存在，值就是0。
核心原因是余弦函数$\cos(x)$在整个实数域上都是连续的，在$x=0$点的函数值为1，所以当$x$无限趋近于0时，$\cos(x)$的极限就是它在该点的函数值，进而$1 - \cos(x)$的极限就是$1 - 1 = 0$。

3. $\boldsymbol{\frac{1-\cos(x)}{x}}$当$\boldsymbol{x}$趋近于0时的极限是否可能为1？ #

不可能，这个极限的实际值是0，我给你两种验证方式：

• 等价无穷小替换：还是用$1 - \cos(x) \sim \frac{x^2}{2}$（$x \to 0$时的等价关系），代入分式后：
  $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0$$
• 洛必达法则：当$x \to 0$时，分子$1 - \cos(x)$和分母$x$都趋近于0，满足洛必达法则的适用条件，对分子分母分别求导后：
  $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{1} = \sin(0) = 0$$
  所以这个极限是0，绝对不可能等于1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Soumil Aggarwal