求证函数$f_n(x)=x^n \sin x$在n为奇数时存在最小值的问题求助

嘿，我来帮你梳理这个问题的思路，先从化简你求出的导数开始，然后分情况讨论n是正奇数还是负奇数的情况：

首先，先把你得到的导数做个简化，提取公因子$x^{{n-1}$（因为n是奇数，n-1是偶数，所以$x}{n-1} \geq 0$，x≠0时$x^{n-1}>0$）：
$$f'(x) = x^{n-1}(x\cos x + n\sin x)$$
导数的符号完全由括号里的$g(x)=x\cos x + n\sin x$决定（x≠0时），接下来分两种核心情况讨论：

情况1：n为正奇数 #

这里先纠正一个关键点：正奇数n时，函数不存在全局最小值，原因很简单：
取子列$x_k = 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$（k为正整数，k→+∞），此时$\sin x_k = -1$，代入函数得$f_n(x_k) = -(2k\pi + \frac{3\pi}{2})^n$，当k趋向无穷大时，这个值会趋向$-∞$，说明函数没有下界，自然不存在全局最小值。

不过，函数存在无数个局部最小值，我们可以拿区间$(\pi, 2\pi)$来举例证明：

• 当$x=\pi$时，$g(\pi) = \pi\cos\pi + n\sin\pi = -\pi < 0$，所以$f'(x) < 0$，函数在该点附近是递减的；
• 当$x=2\pi$时，$g(2\pi) = 2\pi\cos2\pi + n\sin2\pi = 2\pi > 0$，所以$f'(x) > 0$，函数在该点附近是递增的；
• $g(x)$是连续函数，根据零点存在定理，必然存在某个$x_0 \in (\pi, 2\pi)$使得$g(x_0)=0$，也就是$f'(x_0)=0$；
• 在$(\pi, x_0)$上$f'(x)<0$，函数递减；在$(x_0, 2\pi)$上$f'(x)>0$，函数递增，所以$x_0$就是一个局部最小值点，$f_n(x_0)$是该区间的局部最小值。

情况2：n为负奇数 #

设$n=-m$（m为正奇数），此时函数变为$f_n(x) = \frac{\sin x}{x^m}$，定义域为$x \neq 0$，这时候函数是存在全局最小值的，证明如下：

1. 先看函数的趋势：

   • 当$x \to 0$时：如果m=1，$\frac{\sin x}{x} \to 1$；如果m≥3，$x \to 0^+$时$\frac{\sin x}{x^m} \to +∞$，$x \to 0^{-$时，因为$x}m < 0$、$\sin x \to 0^-$，所以$\frac{\sin x}{x^m} \to +∞$；
   • 当$x \to ±∞$时，$|\sin x| \leq 1$，而$|x^m|$趋向无穷大，所以$\frac{\sin x}{x^m} \to 0$；
     这说明函数在定义域内有下界（所有函数值都大于某个负数）。

2. 证明存在最小值：
   取一个足够大的闭区间$[-M, M]$（比如M>π），去掉x=0的小邻域后，函数在这个闭区间上连续。根据连续函数的最值定理，函数在该区间上必然存在最小值。而这个最小值是负数（比如在$(\pi, 2\pi)$内函数值为负），比x→±∞时的0更小，所以这个最小值就是全局最小值。

如果你的问题原本是针对正奇数n，但题目说“存在最小值”，大概率是表述上的误差，实际想表达的是“存在局部最小值”，这时候用上面局部最小值的证明思路就可以啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user503959