求证：满足∀a∈A、b∈B有a≤b的ℝ非空子集A、B存在中间实数c

问题描述 #

设A和B是实数集ℝ的非空子集，满足对于任意的a∈A和任意的b∈B，都有a≤b。求证：存在一个实数c，使得对所有a∈A有c≥a，且对所有b∈B有c≤b。

我的证明思路 #

从条件a≤b出发，利用ℝ中的阿基米德性质逐步推导：

• 存在自然数n∈ℕ，使得 n(b−a)≥1，整理后可得 nb≥na+1。
• 同时依据实数的整数逼近性质，存在唯一的整数m，满足 m−1≤na<m。
• 将两个结论结合，就能推出 nb≥na+1≥m>na，进一步变形得到 na≤m≤nb，或者……

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Inverse Problem