求证群G中元素x,y可交换当且仅当换位子[x,y]=x⁻¹y⁻¹xy=1

我们可以通过双向推导来完成这个严谨的证明：

必要性（⇒）：若x,y可交换，则[x,y] = 1 #

已知x和y满足交换律，也就是xy = yx。把这个关系代入换位子的定义式：

[x,y] = x⁻¹y⁻¹xy

利用交换律调整中间项的顺序，式子可以改写为：

x⁻¹y⁻¹xy = x⁻¹xy⁻¹y

根据群的基本性质，任何元素与其逆元相乘都等于单位元，即x⁻¹x = 1，y⁻¹y = 1，因此：

x⁻¹xy⁻¹y = 1·1 = 1

由此直接得出[x,y] = 1，必要性得证。

充分性（⇐）：若[x,y] = 1，则x,y可交换 #

已知换位子等于单位元，即：

x⁻¹y⁻¹xy = 1

我们对等式进行两步群运算推导：

1. 给等式两边左乘x，得到：

   x·x⁻¹y⁻¹xy = x·1
   

   左边化简x·x⁻¹ = 1，右边x·1 = x，于是式子变为：

   y⁻¹xy = x
   

2. 再给上面的等式两边左乘y，得到：

   y·y⁻¹xy = y·x
   

   左边化简y·y⁻¹ = 1，最终得到：

   xy = yx
   

这完全符合元素交换律的定义，说明x和y可交换，充分性得证。

综上，群G中的元素x,y可交换当且仅当换位子[x,y] = 1，证毕。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tdashrom