已知r、s及一阶导数ds/dr，求二阶导数d²s/dr²（对称法子问题）

先明确已知的变量定义和一阶导数结果：
$$ \begin{align*} r = \frac{y}{x} & & s= -\frac{1}{y} & & \frac{ds}{dr}=\frac{y'}{r^2\left(xy'-y\right)} \end{align*} $$
这里要说明下，$y' = \frac{dy}{dx}$，而这个推导是利用对称法求解$y''=0$这个问题的一部分。

下面是我尝试推导这个复杂二阶导数的过程：
$$ \begin{align*} \frac{d^2s}{dr2} = &\frac{d}{dr}\left( \frac{y'}{ryy'-r^2y} \right) \ \ = & \frac{ y'' \left(ryy'-ry \right) - y'\left(yy' +r(y')^2 + ryy'' - y - ry... \end{align*} $$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sarah jamal