实数集上的加法同态函数是否为偶函数？

咱们来分析满足性质 $f(x + y) = f(x) + f(y)$ 的函数，尝试推导它的奇偶相关性质：

首先利用函数方程写出两个等式：
$$f(-y) = f(-2y + y) = f(-2y) + f(y) \tag{1}$$
$$f(y) = f(2y + (-y)) = f(2y) + f(-y) \tag{2}$$

接下来把(2)代入(1)中：
$$f(-y) = f(-2y) + \left[f(2y) + f(-y)\right]$$

两边同时减去 $f(-y)$ 后整理：
$$0 = f(-2y) + f(2y)$$

最终得到正确结论：
$$f(-2y) = -f(2y)$$

编辑说明：原推导过程最后一步出现计算错误，正确结果应为 $-f(2y) = f(-2y)$（和上述结论等价）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zduff