证明变限积分函数F(x)=∫ₐ(x)^b(x)f(x,t)dt可导

嘿，你的思路完全找对了！要证明F(x)可导，核心就是通过拆分 ( F(x+h) - F(x) )，把复杂的变限+含参积分拆解成几个好处理的部分，再逐一分析它们在 ( h \to 0 ) 时的极限。咱们一步步来：

第一步：拆分差值 ( F(x+h) - F(x) ) #

首先把积分区间统一到 ( [a(x), b(x)] )，这样能拆成三个独立的积分项：

( F(x+h) - F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} [f(x+h,t) - f(x,t)]dt + \int_{b(x)}^{b(x+h)} f(x+h,t)dt - \int_{a(x)}^{a(x+h)} f(x+h,t)dt )
注意最后一项的符号，因为把下限从 ( a(x+h) ) 换成 ( a(x) )，积分要变号。

第二步：分析第一部分积分 #

因为f关于第一个变量的偏导数 ( f_x ) 在 ( I \times J ) 上连续，根据一元函数的拉格朗日中值定理，对每个固定的t，存在 ( \theta_t \in (0,1) )，使得：
( f(x+h,t) - f(x,t) = h \cdot f_x(x + \theta_t h, t) )
代入第一部分积分得：
( \int_{a(x)}^{b(x)} [f(x+h,t) - f(x,t)]dt = h \cdot \int_{a(x)}^{b(x)} f_x(x + \theta_t h, t)dt )
由于 ( f_x ) 连续，当 ( h \to 0 ) 时，( f_x(x + \theta_t h, t) ) 一致收敛到 ( f_x(x,t) )（连续函数在紧集上一致连续，取x附近足够小的邻域和积分区间组成紧集即可），因此这部分的极限是：
( \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \text{第一部分} = \int_{a(x)}^{b(x)} f_x(x,t)dt )

第三步：分析第二部分积分 #

因为f在 ( I \times J ) 上连续，所以在x的邻域和b(x)的邻域组成的紧集上，f是有界的（连续函数在紧集上有界）。根据积分中值定理，存在 ( \xi_h ) 介于 ( b(x) ) 和 ( b(x+h) ) 之间，使得：
( \int_{b(x)}^{b(x+h)} f(x+h,t)dt = f(x+h, \xi_h) \cdot [b(x+h) - b(x)] )
当 ( h \to 0 ) 时，( \xi_h \to b(x) )，f连续所以 ( f(x+h, \xi_h) \to f(x, b(x)) )；同时b(x)可导，所以 ( \frac{b(x+h)-b(x)}{h} \to b'(x) )。因此这部分的极限是：
( \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \text{第二部分} = f(x, b(x)) \cdot b'(x) )

第四步：分析第三部分积分 #

和第二部分完全类似，利用积分中值定理，存在 ( \eta_h ) 介于 ( a(x) ) 和 ( a(x+h) ) 之间，使得：
( \int_{a(x)}^{a(x+h)} f(x+h,t)dt = f(x+h, \eta_h) \cdot [a(x+h) - a(x)] )
当 ( h \to 0 ) 时，( \eta_h \to a(x) )，( f(x+h, \eta_h) \to f(x, a(x)) )，且 ( \frac{a(x+h)-a(x)}{h} \to a'(x) )。因此这部分的极限是：
( \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \text{第三部分} = f(x, a(x)) \cdot a'(x) )

第五步：合并极限得到导数 #

把三部分的极限加起来，就得到F(x)的导数：
( F'(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f_x(x,t)dt + f(x,b(x))b'(x) - f(x,a(x))a'(x) )
这就证明了F(x)在I上可导，且导数由上述表达式给出。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John Mayne