关于望远镜级数求和分式化简全步骤的技术咨询

我来一步步拆解这个分式的化简逻辑，帮你搞懂每一步的操作，尤其是你关心的最后几步～

我们的目标是把分式 $\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}$ 拆成可抵消的望远镜项，下面逐个步骤解析：

第一步：分母有理化 #

分母是两个带根式的项相加：$(k+1)\sqrt{k} + k\sqrt{k+1}$，这种形式的常规处理方法是有理化——给分子分母同时乘分母的共轭式（把加号换成减号），利用平方差公式消去分母里的根式：
$$
\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}} = \frac{(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{\left[(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}\right]\left[(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}\right]}
$$
原理就是平方差公式 $(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，这样分母就能转化为不含根式的整式。

第二步：展开分母的平方差 #

计算分母部分，利用 $(\sqrt{x})^2 = x$ 的性质：
$$
\left[(k+1)\sqrt{k}\right]^2 - \left[k\sqrt{k+1}\right]^2 = (k+1)^2 \cdot k - k^2 \cdot (k+1)
$$

第三步：化简分母多项式 #

把分母的多项式展开并合并同类项：
$$
(k+1)^2k - k^2(k+1) = (k^2+2k+1)k - k^2(k+1) = k^3+2k2+k - k^3 -k^2
$$
合并后 $k^3$ 抵消，$2k^2 -k^2 =k^2$，剩下 $k^2 +k$，提取公因式后得到 $k(k+1)$。此时分式变为：
$$
\frac{(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k(k+1)}
$$

第四步：拆分分式（核心步骤） #

把分子的两项拆成两个分式的差：
$$
\frac{(k+1)\sqrt{k}}{k(k+1)} - \frac{k\sqrt{k+1}}{k(k+1)}
$$
然后分别约分：

• 第一个分式：分子分母的 $(k+1)$ 抵消，剩下 $\frac{\sqrt{k}}{k}$
• 第二个分式：分子分母的 $k$ 抵消，剩下 $\frac{\sqrt{k+1}}{k+1}$

这一步拆分后，分式就变成了：
$$
\frac{\sqrt{k}}{k} - \frac{\sqrt{k+1}}{k+1}
$$

第五步：化简为倒数形式 #

最后利用根式与幂次的关系：$\sqrt{x}=x^{1/2}$，所以 $\frac{x^{1/2}}{x}=x{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$，代入后：

• $\frac{\sqrt{k}}{k} = \frac{1}{\sqrt{k}}$
• $\frac{\sqrt{k+1}}{k+1} = \frac{1}{\sqrt{k+1}}$

最终就得到了我们想要的望远镜项：
$$
\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}}
$$

拆分完成后，这个级数展开就是典型的望远镜形式，中间项全部抵消，最终求和结果为1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hawk12